设双曲线 x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2 =1…——2015 高考数学第 10 题答案解析

【答案】 $A$
【解析】由题意 $A(a, 0), B\left(c, \frac{b^{2}}{a}\right), C\left(c,-\frac{b^{2}}{a}\right)$，由双曲线的对称性知 $D$ 在 $x$ 轴上，设 $D(x, 0)$，由 $B D \perp A C$得 $\frac{\frac{b^{2}}{a}-0}{c-x} \cdot \frac{\frac{b^{2}}{a}}{a-c}=-1$，解得 $c-x=\frac{b^{4}}{a^{2}(c-a)}$，所以 $c-x=\frac{b^{4}}{a^{2}(c-a)}<a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}=a+c$，所以。 $\frac{b^{4}}{a^{2}}<c^{2}-a^{2}=b^{2} \Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}}<1 \Rightarrow 0<\frac{b}{a}<1$，因此渐近线的斜率取值范围是 $(-1,0) \cup(0,1)$，选 $A$．

【考点定位】双曲线的性质．
【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于 $a, b, c$ 的不等式，根据已知条件和双曲线中 $a, b, c$ 的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于 $a, b$ 的不等关系，解不等式可得所求范围．解题中要注意椭圆与双曲线中 $a, b, c$ 关系的不同．