2017 地方卷 · 理 数学

（5分）设函数 $y=\sqrt{4-x^{2}}$ 的定义域为 $A$ ，函数 $y=\ln (1-x)$ 的定义域为 $B$ ，则 $A \cap B=(\quad)$

（5分）已知 $a \in R$ ，$i$ 是虚数单位，若 $z=a+\sqrt{3} i, z \cdot \bar{z}=4$ ，则 $a=$（）

（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下
列命题为真命题的是（　　）

（5分）已知 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y+3 \leqslant 0 \\ 3 x+y+5 \leqslant 0 \\ x+3 \geqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x+2 y$ 的最大值是

（ 5 分）为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\widehat{\mathrm{y}}=\widehat{\mathrm{b}} x+\widehat{\mathrm{a}}$ ，已知 $\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} \mathrm{x}_{\mathrm{i}}=225, \sum_{\mathrm{i}=1}^{10} \mathrm{y}_{\mathrm{i}}=1600, \widehat{\mathrm{~b}} =4$ ，该班某学生的脚长为 24 ，据此估计其身高为

（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 $x$ 值为 7 ，第二次输入的 $x$ 值为 9 ，则第一次，第二次输出的 $a$ 值分别为

（5分）若 $a>b>0$ ，且 $a b=1$ ，则下列不等式成立的是（）

（5分）从分别标有 $1,2, \ldots, 9$ 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）

（5分）在 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形 ，且满足 $\sin B(1+2 \cos C)=2 \sin A \cos C+\cos A \sin C$ ，则下列等式成立的是（）

（5分）已知当 $x \in[0,1]$ 时，函数 $y=(m x-1)^{2}$
的图象与 $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{m}$ 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是（）

（5分）已知 $(1+3 x) n$ 的展开式中含有 $x^{2}$ 的系数是 54 ，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．

（5分）已知 $\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}, \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$ 是互相垂直的单位向量，若 $\sqrt{3} \overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}-\overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$与 $\overrightarrow{\mathrm{e}_{1}}+\lambda \overrightarrow{\mathrm{e}_{2}}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则实数 $\lambda$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

（5分）由一个长方体和两个 $\frac{1}{4}$
圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$。

俯视图

侧视图（左视图）

（5分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右支与焦点为 $F$ 的抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $|A F|+|B F|=4|O F|$ ，则该双曲线的渐近线方程为 $\_\_\_\_$ ．

（5分）若函数 $e^{x f}(x) ~(e \approx 2.71828 \ldots$ 是自然对数的底数）在 $f(x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 具有 M 性质。下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 $\_\_\_\_$ ．
①$f(x)=2^{-x}(2) f(x)=3^{-x}(3) f(x)=x^{3}(4) f(x)=x^{2}+2$ ．

（12分）设函数 $f(x)=\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{2}\right)$ ，其中 $0<\omega<3$ ，已知 $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=0$ ．
（I）求 $\omega$ ；
（II）将函数 $y=f(x)$ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求 $g(x)$ 在 $[ \left.-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 上的最小值．