2017 新课标 III 卷 数学

（5分）已知集合 $\cdot { \mathsf { A } } { = } \left\{ 1 , \ 2 , \ 3 , \ 4 \right\}$ $\mathsf { B } = \{ 2 , ~ 4 , ~ 6 , ~ 8 \}$ ，则A∩B中元素的个数 为（　　）

（5分）复平面内表示复数 $z = i ( - 2 + i )$ 的点位于（　　）

（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图

根据该折线图，下列结论错误的是（　　）

（5分）已知 $\sin a - \cos a = \frac { 4 } { 3 }$ ，则 $\sin 2 a =$ （ ）A $- \frac { 7 } { 9 }$ B $- \frac { 2 } { 9 }$ C $\frac { 2 } { 9 }$ D $\frac { 7 } { 9 }$

（5分）设x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { 3 \mathbf { x } + 2 \mathbf { y } - 6 \ll 0 } \\ { \mathbf { x } \gg 0 } \\ { \mathbf { y } \gg 0 } \end{array} \right.$ 则 $z = x - y$ 的取值范围是（　　）

（5分）函数f $( x ) = \frac { 1 } { 5 } \sin ( x + \frac { \pi } { 3 } ) + \cos ( x - \frac { \pi } { 6 } )$ 的最大值为（ ）A $\frac { 6 } { 5 }$ B．1 C $\frac { 3 } { 5 }$ D $\frac { 1 } { 5 }$

（5分）函数 $\scriptstyle y = 1 + x + { \frac { \sin x } { x ^ { 2 } } }$ 的部分图象大致为（　　）

A

B

C

D

（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　）

（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）A．π B $\frac { 3 \pi } { 4 }$ C $\frac { \pi } { 2 }$ D $\frac { \pi } { 4 }$

（5分）在正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 中，E为棱CD的中点，则（ ）A $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E } \bot \mathsf { D } \mathsf { C } _ { 1 }$ B $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E } \bot \mathsf { B } \mathsf { D }$ C $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E } \bot \mathsf { B C } _ { 1 }$ D $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E } \bot \mathsf { A C }$

（5分）已知椭圆C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的左、右顶点分别为 $\mathsf { A } _ { 1 } , ~ \mathsf { A } _ { 2 }$ 且以线段 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { A } _ { 2 }$ 为直径的圆与直线 ${ \mathsf { b } } { \mathsf { x } } - { \mathsf { a } } { \mathsf { y } } ^ { + } 2 { \mathsf { a } } { \mathsf { b } } { = } 0$ 相切，则C的离心率为（A $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$ B $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ C $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$ D $\frac 1 3$

（5分）已知函数f $( { \bf x } ) { \bf \beta } = { \bf x } ^ { 2 } - 2 { \bf x } ^ { + } { \bf a } { \bf \beta } ( { \bf e } ^ { { \bf x } - 1 + } { \bf e } ^ { { \bf \alpha } \cdot { \bf x } + 1 } )$ 有唯一零点，则a=（　　）A $- \frac { 1 } { 2 }$ B $\frac 1 3$ C $\frac 1 2$ D．1

（5分）已知向量 $\stackrel { } { \bf { \bar { a } } } = \mathrm { ~ ( ~ - ~ } 2 , \mathrm { ~ \ } 3 \mathrm { ~ ) ~ }$ $\vec { \mathrm { \sf ~ b } } = \mathrm { ~ \sf ~ ( ~ 3 ~ , ~ } \mathrm { \sf ~ m } \mathrm { ) }$ ，且 $\vec { \mathsf { a } } \bot \vec { \mathsf { b } }$ ，则 $m = 2$

（5分）双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 ( a > 0 )$ 的一条渐近线方程为 $J \bigtriangledown = \frac { 3 } { 5 } x$ ，则 $a = \underline { { ~ 5 ~ } }$

（5分）设函数f $( \mathbf { x } ) \mathbf { \Psi } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } + 1 , } & { \mathbf { x } \leqslant 0 } \\ { 2 ^ { \mathbf { x } } , } & { \mathbf { x } > 0 } \end{array} \right.$ ，则满足f $( \mathsf { x } ) + \mathsf { f } ( \mathsf { x } - \frac { 1 } { 2 } ) > 1$ 的x的取 值范围是 $( \frac { 1 } { 4 } , + \infty )$

（12分）设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1+3a_2+\cdots+(2n-1)a_n=2n$.
（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{\dfrac{a_n}{2n+1}\}$ 的前 $n$ 项和．

（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位： $^ { \circ } \mathrm { C } )$ 有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>最高气温</td><td rowspan=1 colspan=1>[10,15)</td><td rowspan=1 colspan=1>[15，20)</td><td rowspan=1 colspan=1>[20，25）</td><td rowspan=1 colspan=1>[25，30）</td><td rowspan=1 colspan=1>[30，35）</td><td rowspan=1 colspan=1>[35，40)</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>天数</td><td rowspan=1 colspan=1>2</td><td rowspan=1 colspan=1>16</td><td rowspan=1 colspan=1>36</td><td rowspan=1 colspan=1>25</td><td rowspan=1 colspan=1>7</td><td rowspan=1 colspan=1>4</td></tr></table>

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

②设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率

（12分）在直角坐标系 $\mathsf { x O y }$ 中，曲线 $y = x ^ { 2 } + m x - 2$ 与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：

①能否出现 $A C \bot B C$ 的情况？说明理由；

②证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值

（10分）在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为$\begin{cases}x=2+t\\y=kt\end{cases}$，（t为参数），直线l₂的参数方程为$\begin{cases}x=-2+m\\y=\dfrac{m}{k}\end{cases}$，（m为参数）．设l₁与l₂的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l₃：ρ（cosθ+sinθ）-√2=0，M为l₃与C的交点，求M的极径．