2020 新课标 I 卷 数学

若$z=1+i$，则|z²–$2z|=$（ ）

设集合 $A { = } \{ x | x ^ { 2 } { - } 4 { \leq } 0 \}$ $B { = } \{ x | 2 x { + } a { \leq } 0 \}$ ，且 $A \cap B { = } \{ x | { - } 2 { \leq } x { \leq } 1 \}$ ，则a=（ ）

已知A为抛物线 $C { : \boldsymbol { y } { ^ 2 } { = } } 2 p x \ ( p { > } 0 )$ 上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p =（ ）

某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位： $^ { \circ } \mathrm { C } )$ 的关系，在20个

不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $( x _ { i } , y _ { i } ) ( i = 1 , 2 , \cdots , 2 0 )$ 得到下面的散点图：

由此散点图，在 $1 0 ^ { \circ } \mathrm { C }$ 至 $4 0 ^ { \circ } \mathrm { C } \cdot$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）

函数$f(x)=x^4-2x^3$的图像在点$(1,\ f(1))$处的切线方程为（ ）

设函数 $f ( x ) = \cos ( \omega x + \frac { \pi } { 6 } )$ 在 $[ - \pi , \pi ]$ 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）

已知 $\alpha \in ( 0 , \pi )$ ，且 $3 \mathrm { c o s } 2 \alpha - 8 \mathrm { c o s } \alpha = 5$ ，则 $\sin \alpha = \textrm { ( ) }$

已知A B C, , 为球O 球面上的三个点，的 $\odot O _ { 1 }$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆，若 $\odot O _ { 1 }$ 的面积为4π$A B = B C = A C = O O _ { 1 }$ ，则球O的表面积为（ ）

已知 $\odot M : \ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，直线l： $2 x + y + 2 = 0$ ，P为l上的动点，过点P 作⊙M的切线PA PB, ，切点为A B, ，当 $P M \mid \cdot \mid A B \mid$ 最小时，直线AB 的方程为（ ）

若x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { 2 x + y - 2 \leq 0 , } \\ { x - y - 1 \geq 0 , } \\ { y + 1 \geq 0 , } \end{array} \right.$ 则z=x+7y的最大值为

设 $^ { a , b }$ 为单位向量，且 $\scriptstyle | { \pmb { a } } + { \pmb { b } } | = 1$ ，则| $a - b | =$

已知F为双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为

如图，在三棱锥P–

ABC的平面展开图中，AC=1， $A B = A D = { \sqrt { 3 } }$ $A B \bot A C$ ，AB⊥AD， $\angle C A E { = } 3 0 ^ { \circ }$ ，则 $\cos \angle F$ $C B =$

设 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是公比不为1的等比数列， $a _ { 1 }$ 为 $a _ { 2 } , a _ { 3 }$ 的等差中项

（1）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公比；

（2）若 $a _ { 1 } = 1$ ，求数列 $\{ n a _ { n } \}$ 的前 n项和

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac { 1 } { 2 }$ ，

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率.

已知A、B分别为椭圆E： ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + y ^ { 2 } = 1 ( a { > } 1 )$ 的左、右顶点，G为E的上顶点，

${ \overrightarrow { A G } } \cdot { \overrightarrow { G B } } = 8$ ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

已知函数 $f ( x ) = \mathbf { e } ^ { x } + a x ^ { 2 } - x$

①当a=1时，讨论f（x）的单调性；

②当x≥0时， $f \left( x \right) \geq { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 3 } + 1$ ，求a的取值范围.

在直角坐标系xOy中，曲线 $C _ { 1 }$ 的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l } { x = \cos ^ { k } t , } \\ { y = \sin ^ { k } t } \end{array} \right.$ (t 为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C _ { 2 }$ 的极坐标方程为 $4 \rho \cos \theta - 1 6 \rho \sin \theta + 3 = 0$

①当k =1时， $C _ { 1 }$ 是什么曲线？

②当k = 4时，求 $C _ { 1 }$ 与 $C _ { 2 }$ 的公共点的直角坐标