2020 江苏卷 数学

已知集合 $A = \{-1,0,1,2\}$，$B = \{0,2,3\}$，则 $A \cap B = $____．

已知 $\mathrm{i}$ 是虚数单位，则复数 $z = (1+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})$ 的实部是____．

已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4，则a的值是

将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是

如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2，则输入x的值是

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } \ - \ { \frac { y ^ { 2 } } { 5 } } = 1 ( { \mathrm { a } } > 0 )$ 的一条渐近线方程为 $\mathrm { | y = } \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } x$ ，则该双曲线的离心率是

已知 $\scriptstyle 1 y = f ( x )$ 是奇函数，当x≥0时， $f ( x ) = x ^ { \frac { 2 } { 3 } }$ ，则f(-8)的值是\_\_\_

7.已知 $\scriptstyle | y = f ( x )$ 是奇函数，当x≥0时， $f \left( x \right) = x ^ { \frac { 2 } { 3 } }$ ，则f(-8)的值是\_

已知$\sin^{2}(\dfrac{\pi}{4}+\alpha)=\dfrac{2}{3}$，则$\sin2\alpha$的值是____.

如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是$\_\_\_cm.$

将函数 $\scriptstyle \left. \mathtt { \tilde { y } } = 3 \sin ( 2 x + \frac { \pi } { 4 } ) \right.$ 的图象向右平移 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是

10.将函数 $\scriptstyle \operatorname { j } = 3 \sin ( 2 x + { \frac { \pi } { 4 } } )$ 的图象向右平移 $\frac { \pi } { 6 }$ 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是\_

已知 $5 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + y ^ { 4 } = 1 ( x , y \in R )$ ，则 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 }$ 的最小值是

在 $\triangle A B C$ 中， AB = 4， AC = 3, $\angle B A C { = } 9 0 ^ { \circ }$ ，D在边BC上，延长AD到P，使得 $A P { = } 9$ ，若$\overrightarrow { P A } = m \overrightarrow { P B } + ( \frac { 3 } { 2 } - m ) \overrightarrow { P C }$ （m为常数），则CD的长度是

13.在△ABC中， $A B = 4 , A C = 3 , \angle B A C = 9 0 ^ { \circ } , D$ 在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若$\overrightarrow { P A } = m \overrightarrow { P B } + ( \frac { 3 } { 2 } - m ) \overrightarrow { P C }$ （m为常数），则CD的长度是

在平面直角坐标系 $x O y \#$ 1，已知 $P ( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , 0 ) , A$ ，B是圆C: $x ^ { 2 } + ( y - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } = 3 6$ 上的两个动点，满足$P A = P B$ ，则 $\triangle P A B$ 面积的最大值是

14.在平面直角坐标系xOy中，已知 $P ( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , 0 )$ ，A，B是圆C: $x ^ { 2 } + ( y - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } = 3 6$ 上的两个动点，满足$P A = P B$ ，则 $\triangle P A B$ 面积的最大值是

在三棱柱 $A B C { - } A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 中， $A B \bot A C$ $B _ { 1 } C \bot$ 平面ABC，E，F分别是AC， $B _ { 1 } C$ 的中点.

（1）求证： $E F / /$ 平面 $A B _ { 1 } C _ { 1 }$

（2) 求证：平面 $A B _ { 1 } C \bot$ 平面 $A B B _ { 1 }$

15.在三棱柱 $A B C { = } A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 中， $A B \bot A C$ $B _ { 1 } C \bot$ 平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点.

（1）求证： $E F / /$ 平面 $A B _ { 1 } C _ { 1 }$

（2) 求证：平面 $A B _ { 1 } C \bot$ 平面 $A B B _ { 1 }$

已知关于$x$的函数$y=f(x),y=g(x)$与$h(x)=kx+b(k,b\in\mathbf{R})$在区间$D$上恒有$f(x)\geq h(x)\geq g(x)$．
（1）若$f(x)=x^{2}+2x$，$g(x)=-x^{2}+2x$，$D=(-\infty,+\infty)$，求$h(x)$的表达式；
（2）若$f(x)=x^{2}-x+1$，$g(x)=k\ln x$，$h(x)=kx-k,D=(0,+\infty)$，求$k$的取值范围；
（3）若$f(x)=x^{4}-2x^{2}$，$g(x)=4x^{2}-8$，$h(x)=4\bigl(t^{2}-t\bigr)x-3t^{4}+2t^{2}(0<|t|\leqslant\sqrt{2})$，$D=[m,n]\subseteq\bigl[-\sqrt{2},\sqrt{2}\bigr]$，求证：$n-m\leqslant\sqrt{7}$．

已知数列$\{a_{n}\}(n\in N^{*})$的首项$a_{1}=1$，前$n$项和为$S_{n}$．设$\lambda$与$k$是常数，若对一切正整数$n$，均有$S_{n+1}^{\frac{1}{k}}-S_{n}^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1}^{\frac{1}{k}}$成立，则称此数列为“$\lambda$-$k$”数列．
（1）若等差数列$\{a_{n}\}$是“$\lambda$-$1$”数列，求$\lambda$的值；
（2）若数列$\{a_{n}\}$是“$\dfrac{\sqrt{3}}{3}-2$”数列，且$a_{n}>0$，求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
（3）对于给定的$\lambda$，是否存在三个不同的数列$\{a_{n}\}$为“$\lambda$-$3$”数列，且$a_{n}\geq0$？若存在，求$\lambda$的取值范围；若不存在，说明理由，

平面上点 $A(2,-1)$ 在矩阵 $M=\begin{bmatrix} a & 1 \\ -1 & b \end{bmatrix}$ 对应的变换作用下得到点 $B(3,-4)$．
（1）求实数 $a$，$b$ 的值；
（2）求矩阵 $M$ 的逆矩阵 $M^{-1}$．

设 $x\in\mathbb{R}$，解不等式 $2|x+1|+|x|\le4$．