2022 全国甲卷 数学

若 $z=-1+\sqrt{3}\mathrm{i}$，则 $\dfrac{z}{z\overline{z}-1}=$ （　　）

如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）

当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 $-2$，则 $f^{\prime}(2)=$（　　）

在长方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，已知 $B _ { 1 } D$ 与平面ABCD和平面 $A A _ { 1 } B _ { 1 } B$ 所成的角均为 $3 0 ^ { \circ }$ ，则（ ）

沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， $\widehat { A B }$ 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C是AB的中点，D 在 $\widehat { A B }$ 上， $C D \perp A B$ ．“会圆术”给出 $\widehat { A B }$ 的弧长的近似值s 的计算公式： $s = A B + { \frac { C D ^ { 2 } } { O A } }$ ．当 $O A = 2 , \angle A O B = 6 0 ^ { \circ }$ 时，s =（ ）

甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 $2 \pi$ ，侧面积分别为 $S _ { \mathbb { H } }$ 和 $S _ { \mathrm { { Z } } }$ ，体积分别为 $V _ { \mathbb { H } }$ 和 $V _ { \mathrm { Z } }$ ．若 $\frac { S _ { \scriptscriptstyle \mathbb { H } } } { S _ { \scriptscriptstyle \ Z } } = 2$ ，则 $\frac { V _ { \oplus } } { V _ { \ Z } } =$ （ ）

椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的左顶点为A，点P，Q 均在C上，且关于y轴对称．若直线 $A P , A Q$ 的斜率之积为 $\frac 1 4$ ，则C的离心率为（ ）

设函数 $f ( x ) = \sin \left( \omega x + \frac { \pi } { 3 } \right)$ 在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则w的取值范围是（ ）

已知 $a = { \frac { 3 1 } { 3 2 } } , b = \cos { \frac { 1 } { 4 } } , c = 4 \sin { \frac { 1 } { 4 } }$ ，则（ ）

设向量 ${ \vec { a } } \ , \ { \vec { b } }$ 的夹角的余弦值为 $\frac 1 3$ ，且 $\left| { \vec { a } } \right| = 1$ $\left| { \overset { \underset { \mathsf { I } } { } } { b } } \right| = 3$ ，则 $\left( \vec { 2 a } + \vec { b } \right) \cdot \vec { b }$ =

若双曲线 $y ^ { 2 } - { \frac { x ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } = 1 ( m > 0 )$ 的渐近线与圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 y + 3 = 0$ 相切，则m =

已知 $\triangle A B C$ 中，点D 在边BC上， $\angle A D B = 1 2 0 ^ { \circ } , A D = 2 , C D = 2 B D$ ．当 $\frac { A C } { A B }$ 取得最小值时，$B D =$

记 $S _ { n }$ 为数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和．已知 ${ \frac { 2 S _ { n } } { n } } + n = 2 a _ { n } + 1$

（1）证明： $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列；

（2）若 $a _ { 4 } , a _ { 7 } , a _ { 9 }$ 成等比数列，求 $S _ { n }$ 的最小值

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望

设抛物线 $C : y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 的焦点为F，点 $D \left( p , 0 \right)$ ，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， $\left| M F \right| = 3$

（1）求C的方程；

②设直线 MD ND , 与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线 MN AB, 的倾斜角分别为 $\alpha , \beta$ ．当 $\alpha - \beta$ 取得最大值时，求直线AB的方程

已知a，b，c均为正数，且 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 4 c ^ { 2 } = 3$ ，证明：

① $a + b + 2 c \leq 3$

（2）若 $b = 2 c$ ，则 $\displaystyle \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { c } \geq 3$