2022 天津卷 数学

“ x 为整数”是“ 2 1x + 为整数”的（ ）

函数 $f \left( x \right) = { \frac { \left| x ^ { 2 } - 1 \right| } { x } }$ 的图像为（ ）

B.

C.

D.

为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17] ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）

已知 $a = 2 ^ { 0 . 7 }$ $b { = } \left( \frac 1 3 \right) ^ { 0 . 7 }$ $c = \log _ { 2 } { \frac { 1 } { 3 } }$ ，则（ ）

化简 $\big ( 2 \log _ { 4 } 3 + \log _ { 8 } 3 \big ) \big ( \log _ { 3 } 2 + \log _ { 9 } 2 \big )$ 的值为（ ）

已知抛物线 $y ^ { 2 } = 4 \sqrt { 5 } x , F _ { 1 } , F _ { 2 }$ 分别是双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的左、右焦点，抛物线的准线过双曲 线的左焦点 $F _ { 1 }$ ，与双曲线的渐近线交于点A，若 $\angle F _ { 1 } F _ { 2 } A = { \frac { \pi } { 4 } }$ ，则双曲线的标准方程为（ ）

如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为$1 2 0 ^ { \circ }$ ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）

已知 $f ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } \sin 2 x$ ，关于该函数有下列四个说法：

①f x( )的最小正周期为2π；

② f x( ) 在 $[ - \frac { \pi } { 4 } , \frac { \pi } { 4 } ]$ 上单调递增；

③当 $x \in \left[ - \frac { \pi } { 6 } , \frac { \pi } { 3 } \right]$ 时，f x( )的取值范围为 $\left[ - { \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } } , { \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } } \right]$ ；

④f x( )的图象可由 $\operatorname { g } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \sin ( 2 x + \frac { \pi } { 4 } )$ 的图象向左平移 $\frac { \pi } { 8 }$ 个单位长度得到

以上四个说法中，正确的个数为（ ）

$\left( { \sqrt { x } } + { \frac { 3 } { x ^ { 2 } } } \right) ^ { 5 }$ 的展开式中的常数项为

若直线 $x - y + m = 0 { \big ( } m > 0 { \big ) }$ 与圆 $\left( x - 1 \right) ^ { 2 } + \left( y - 1 \right) ^ { 2 } = 3$ 相交所得的弦长为m，则m =

52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 \_；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为【答案】 ①. $\frac { 1 } { 2 2 1 }$ ②. $\frac { 1 } { 1 7 }$

在 $\triangle A B C$ 中， $\overrightarrow { C A } = \overrightarrow { a } , \overrightarrow { C B } = \overrightarrow { b }$ ，D 是AC中点， ${ \overrightarrow { C B } } = 2 { \overrightarrow { B E } }$ ，试用 $\vec { a } , \vec { b }$ 表示 $\overrightarrow { D E }$ 为\_ \_，若${ \overrightarrow { A B } } \bot { \overrightarrow { D E } }$ ，则 $\angle A C B$ 的最大值为【答案】 ①. $\frac { 3 } { 2 } \vec { b } - \frac { 1 } { 2 } \vec { a }$ ②. $\frac { \pi } { 6 }$

设 $a \in \mathbf { R }$ ，对任意实数x，记 $f { \big ( } x { \big ) } = \operatorname* { m i n } { \Big \{ } { \big | } x { \big | } - 2 , x ^ { 2 } - a x + 3 a - 5 { \Big \} }$ ．若 f(x)至少有 3 个零点，则实 数a的取值范围为

设 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列， $\left\{ b _ { n } \right\}$ 是等比数列，且 $a _ { 1 } = b _ { 1 } = a _ { 2 } - b _ { 2 } = a _ { 3 } - b _ { 3 } = 1$

（1）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 与 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的通项公式；

②设 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $S _ { n }$ ，求证： $\left( S _ { n + 1 } + a _ { n + 1 } \right) b _ { n } = S _ { n + 1 } b _ { n + 1 } - S _ { n } b _ { n }$

（3）求 $\sum _ { k = 1 } ^ { 2 n } \Bigl [ a _ { k + 1 } - ( - 1 ) ^ { k } a _ { k } \Bigr ] b _ { k }$

椭圆 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 { \bigl ( } a > b > 0 { \bigr ) }$ 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足 ${ \frac { \left| B F \right| } { \left| A B \right| } } { = } { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$

（1）求椭圆的离心率^e；

（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O 为坐标原点，若 $\left| O M \right| = \left| O N \right|$ 且 $\triangle O M N$ 的面积为 $\sqrt { 3 }$ ，求椭圆的标准方程