2022 新课标 II 卷 数学（新高考二卷）

已知集合 $A = \left\{ - 1 , 1 , 2 , 4 \right\}$ $B = \left\{ x \Vert x - 1 \Vert \leq 1 \right\}$ ，则 $A \cap B =$ （ ）

$(2 + 2\mathrm{i})(1 - 2\mathrm{i}) = (\quad)$

图1是中国古代建筑中的举架结构， $A A ^ { ' } , B B ^ { ' } , C C ^ { ' } , D D ^ { ' }$ 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 $D D _ { 1 } , C C _ { 1 } , B B _ { 1 } , A A _ { 1 }$ 是举， $O D _ { 1 } , D C _ { 1 } , C B _ { 1 } , B A _ { 1 }$ 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 $\frac { D D _ { 1 } } { O D _ { 1 } } = 0 . 5 , \frac { C C _ { 1 } } { D C _ { 1 } } = k _ { 1 } , \frac { B B _ { 1 } } { C B _ { 1 } } = k _ { 2 } , \frac { A A _ { 1 } } { B A _ { 1 } } = k _ { 3 }$ ．已知 $k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 }$ 成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则 $k _ { 3 } =$ （ ）

图1

图2

已知向量 $\stackrel { } { \pmb { a } } = ( 3 , 4 ) , \vec { b } = ( 1 , 0 ) , \vec { c } = \vec { \pmb { a } } + t \vec { b }$ ，若 $< \stackrel { } { \pmb { a } } , \stackrel { } { \pmb { c } } > = < \vec { b } , \stackrel { } { \pmb { c } } >$ ，则t =（ ）

有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）

若 $\sin ( \alpha + \beta ) + \cos ( \alpha + \beta ) = 2 { \sqrt { 2 } } \cos \left( \alpha + { \frac { \pi } { 4 } } \right) \sin \beta$ ，则（ ）

已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 $3 \sqrt { 3 }$ 和 $4 \sqrt { 3 }$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）

已知函数f x( )的定义域为R，且 $f ( x + y ) + f ( x - y ) = f ( x ) f ( y ) , f ( 1 ) = 1$ ，则 $\sum _ { k = 1 } ^ { 2 2 } f ( k ) = ~ ( \qquad )$

已知函数 $f ( x ) = \sin ( 2 x + \varphi ) ( 0 < \varphi < \pi )$ 的图像关于点 $\left( { \frac { 2 \pi } { 3 } } , 0 \right)$ 中心对称，则（ ）

已知O 为坐标原点，过抛物线 $C : y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 $M ( p , 0 )$ ，若| $A F | = | A M |$ ，则（ ）

如图，四边形ABCD为正方形， $E D \perp$ 平面ABCD， $F B / / E D , A B = E D = 2 F B$ ，记三棱锥E ACD- ，F ABC- ，F ACE- 的体积分别为 $V _ { 1 } , V _ { 2 } , V _ { 3 }$ ，则（ ）

若 x，y 满足 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - x y = 1$ ，则（ ）

已知随机变量X服从正态分布 $N { \left( { 2 , \sigma ^ { 2 } } \right) }$ ，且 $P ( 2 < X \leq 2 . 5 ) = 0 . 3 6$ ，则 $P ( X > 2 . 5 ) =$

已知直线 l与椭圆 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 6 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 3 } } = 1$ 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且$\mid M A \mid = \mid N B \mid , \mid M N \mid = 2 \sqrt { 3 }$ ，则l的方程为

已知 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列， $\left\{ b _ { n } \right\}$ 是公比为2的等比数列，且 $a _ { 2 } - b _ { 2 } = a _ { 3 } - b _ { 3 } = b _ { 4 } - a _ { 4 }$

（1）证明： $a _ { 1 } = b _ { 1 }$ ；

（2）求集合 $\left\{ k \big | b _ { k } = a _ { m } + a _ { 1 } , 1 \leq m \leq 5 0 0 \right\}$ 中元素个数

在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；

（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

已知双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt { 3 } x$

（1）求C的方程；

（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 $P \big ( x _ { 1 } , y _ { 1 } \big ) , Q \big ( x _ { 2 } , y _ { 2 } \big )$ 在C上，且$x _ { 1 } > x _ { 2 } > 0 , y _ { 1 } > 0$ ．过P且斜率为- $\phantom { 0 } { - \sqrt { 3 } }$ 的直线与过Q 且斜率为 $\sqrt { 3 }$ 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在AB 上；②PQ AB∥ ；③| $M A | { = } | M B |$

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

已知函数 $f ( x ) = x \mathbf { e } ^ { a x } - \mathbf { e } ^ { x }$

①当a =1时，讨论f x( )的单调性；

②当x >0时， $f ( x ) < - 1$ ，求a的取值范围；

③设 $\ b { n } \in \mathbf { N } ^ { * }$ ，证明： ${ \frac { 1 } { \sqrt { 1 ^ { 2 } + 1 } } } + { \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { 2 } + 2 } } } + \cdots + { \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + n } } } > \ln ( n + 1 )$