2023 天津卷 数学

已知集合 $U = \{1,2,3,4,5\}, A = \{1,3\}, B = \{1,2,4\}$ ，则 $\check{\mathbf{Q}}_U B \cup A =$ （ ）

“ $a^{2}=b^{2}$ ”是“ $a^{2}+b^{2}=2ab$ ”的（）

若 $a = 1.01^{0.5}, b = 1.01^{0.6}, c = 0.6^{0.5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（ ）

函数 $f(x)$ 的图象如下图所示，则 $f(x)$ 的解析式可能为（）

已知函数 $f(x)$ 的一条对称轴为直线 $x = 2$ ，一个周期为 4，则 $f(x)$ 的解析式可能为（）

已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列, $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和, $a_{n+1} = 2S_{n} + 2$ , 则 $a_{4}$ 的值为 ( )

调查某种群花萼长度和花瓣长度, 所得数据如图所示, 其中相关系数 $r = 0.8245,$ 下列说法正确的是()

在三棱锥 $P - ABC$ 中, 线段 $PC$ 上的点 $M$ 满足 $PM = \frac{1}{3} PC$ , 线段 $PB$ 上的点 $N$ 满足 $PN = \frac{2}{3} PB$ , 则三棱锥 $P - AMN$ 和三棱锥 $P - ABC$ 的体积之比为 ( )

双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1$ 、 $F_2$ 。过 $F_2$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ 。已知 $PF_2 = 2$ ，直线 $PF_1$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为（）

已知i是虚数单位，化简 $\frac{5+14i}{2+3i}$ 的结果为\_\_\_\_.

在 $\left(2x^{3}-\frac{1}{x}\right)^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为 \_\_\_\_.

过原点的一条直线与圆 $C: (x + 2)^2 + y^2 = 3$ 相切，交曲线 $y^2 = 2px (p > 0)$ 于点 $P$ ，若 $|OP| = 8$ ，则 $p$ 的值为 \_\_\_\_.

甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 $5:4:6$ 。这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 $40\%, 25\%, 50\%$ 。现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 \_\_\_\_；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 \_\_\_\_。

在 $\triangle ABC$ 中, $\angle A = 60^{\circ}$ , $BC = 1$ , 点 $D$ 为 $AB$ 的中点, 点 $E$ 为 $CD$ 的中点, 若设 $\overrightarrow{AB} = \vec{a}, \overrightarrow{AC} = \vec{b}$ , 则 $\overrightarrow{AE}$ 可用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示为\_\_\_\_; 若 $\overrightarrow{BF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BC}$ , 则 $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF}$ 的最大值为\_\_\_\_. 【答案】 ①. $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ ②. $\frac{13}{24}$

若函数 $f(x) = ax^2 - 2x - |x^2 - ax + 1|$ 有且仅有两个零点，则 $a$ 的取值范围为 \_\_\_\_.

三棱台 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，若 $A_{1}A \perp$ 面 $ABC, AB \perp AC, AB = AC = AA_{1} = 2, A_{1}C_{1} = 1, M, N$ 分别是 $BC, BA$ 中点.

(1) 求证: $A_{1}N // 平面 C_{1}MA$ ;

(2) 求平面 $C_{1} MA$ 与平面 $ACC_{1} A_{1}$ 所成夹角的余弦值;

(3) 求点 C 到平面 $C_{1}MA$ 的距离.

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A_1, A_2$ ，右焦点为 $F$ ，已知 $\left|A_1F\right| = 3, \left|A_2F\right| = 1$ .

（1）求椭圆方程及其离心率；

（2）已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 $A_{2}P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，若三角形 $A_{1}PQ$ 的面积是三角形 $A_{2}FP$ 面积的二倍，求直线 $A_{2}P$ 的方程.

已知 $\{a_n\}$ 是等差数列， $a_2 + a_5 = 16, a_5 - a_3 = 4$．
（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式和 $\sum\limits_{i=2^{n-1}}^{2^n-1} a_i$．
（2）已知 $\{b_n\}$ 为等比数列，对于任意 $k \in \mathbb{N}^*$，若 $2^{k-1} \le n \le 2^k - 1$，则 $b_k < a_n < b_{k+1}$，
（I）当 $k \ge 2$ 时，求证： $2^k - 1 < b_k < 2^k + 1$；
（II）求 $\{b_n\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和．

已知函数 $f(x) = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\right) \ln (x + 1)$ .

（1）求曲线 $y = f(x)$ 在 x = 2 处切线的斜率；

(2) 当 x > 0 时，证明： $f(x) > 1$ ;

（3）证明： $\frac{5}{6} < \ln (n!) - \left(n + \frac{1}{2}\right)\ln (n) + n\leq 1.$