2025 天津卷 数学

3． 已知函数 $y=f(x)$ 的图像如下，则 $f(x)$ 的解析式可能为

“$x=0$”是“$\sin 2x=0$”的

5． 下列说法错误的是

6．$S_n=-n^2+8n$．则 $|a_n|$ 前 12 项和

7． $f(x)=0.3^{x}-\sqrt{x}$ 的零点在

8． $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,-\pi<\varphi<\pi)$ ，在 $\left[-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right]$ 上单调递增，且 $x=\frac{\pi}{12}$ 为它的一条对称轴，$\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$ 是它的一个对称中心，当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时，$f(x)$ 的最小值为

9． 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，以右焦点 $F_{2}$ 为焦点的抛物线 $y^{2}=2 p x(p> 0)$ 与双曲线在第一象限的交点为 $P$ ，若 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=3\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，则双曲线的离心率 $e=$

10． 已知 $i$ 是虚数单位，则 $\left|\frac{3+i}{i}\right|=$ $\_\_\_\_$。

11． 在 $(x-1)^{6}$ 的展开式中，$x^{3}$ 项的系数为 $\_\_\_\_$。

12． $l_{1}: x-y+6=0$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与圆 $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2}$ 交于 $C, D$ 两点，$|A B|=$ $3|C D|$ ，则 $r=$ $\_\_\_\_$。

13． 小桐操场跑圈，一周 2 次，一次 5 圈或 6 圈。第一次跑 5 圈 6 或 6 圈的概率均为 0.5 ，若第一次跑 5 圈，则第二次跑 5 圈的概率为 0.4 ， 6 圈的概率为 0.6 ；若第一次跑 6 圈，则第二次跑 5 圈的概率为 0.6 ， 4 圈子的概率为 0.4 ．小桐一周跑 11 圈的概率为 $\_\_\_\_$；若一周至少跑11圈为动量达标，则连结跑4财，记合格周数为 $X$ ，则期望 $E(X)=$ $\_\_\_\_$。

14． $\triangle A B C$ 中，$D$ 为 $A B$ 边中点， $\overrightarrow{C E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C D}, \overrightarrow{A B}=a, \overrightarrow{A C}=b$ ，则 $\overrightarrow{A E}=$ $\_\_\_\_$；若 $|\overrightarrow{A E}|=5, A E \perp C B$ ，则$\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{C D}=$ $\_\_\_\_$。

15． 若 $a, b \in \mathbb{R}$ ，对 $\forall x \in[-2,2]$ ，均有 $(2 a+b) x^{2}+b x-a-1 \leqslant 0$ 恒成立，则 $2 a+b$ 的最小值为 $\_\_\_\_$．

16． （14 分）
在 $\triangle A B C$ 中，$a \sin B=\sqrt{3} b \cos A, c-2 b=1, a=\sqrt{7}$ ．
（1） 求角 $A$ ；
（2） 求边 $c$ ；
（3） 求 $\sin (A+2 B)$ ．

18． （15分）
已知随圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A, P$ 为 $x=a$ 上一点，且直线 $P F$ 的斜率为$\frac{1}{3}, \triangle P F A$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ 。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 过点 $P$ 的直线与椭圆有唯一交点 $B$（异于点 $A$ ），求证：$P F$ 平分 $\angle A F B$ ．

19． （15 分）
$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，$a_{1}=b_{1}=2, a_{2}=b_{2}+1, a_{3}=b_{3}$ ．
（1） 求 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通顶公式；
② $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ 有 $T_{n}=\left\{p_{1} a_{1} b_{1}+p_{2} a_{2} b_{2}+\cdots+p_{n} a_{n} b_{n} \mid p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n} \in I\right\}, I=\{0,1\}$ 。
（i） 求证：$\forall t \in T_{n}$ ，均有 $t<a_{n+1} b_{n+1}$ ；
（ii） 求 $T_{n}$ 所有元元之和．