（12分）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人…——2009 高考数学第 20 题答案解析

【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差。

【专题】11：计算题；48：分析法．
【分析】（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关。
（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取 2 人的种数即可得到答案

（III）求 $\xi$ 的数学期望．因为 $\xi$ 的可能取值为 $0,1,2$ ，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案。

【解答】解：（I ）因为甲组有 10 名工人，乙组有 5 名工人，从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名。
（II）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，
故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率 $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{C}_{4}^{1} \cdot \mathrm{C}_{6}^{1}}{\mathrm{C}_{10}^{2}}=\frac{8}{15}$
（III）$\xi$ 的可能取值为 $0,1,2,3$
$P(\xi=0)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{3}^{1}}{C_{5}^{1}}=\frac{6}{75}$ ，
$P(\xi=1)=\frac{C_{4}^{1} C_{6}^{1}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{3}^{1}}{C_{5}^{1}}+\frac{C_{4}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{2}^{1}}{C_{5}^{1}}=\frac{28}{75}$,
$P(\xi=3)=\frac{C_{6}^{2}}{C_{10}^{2}} \cdot \frac{C_{2}^{1}}{C_{5}^{1}}=\frac{10}{75}$,
$P(\xi=2)=1-P(\xi=0)-P(\xi=1)-P(\xi=3) \frac{31}{75}$

故 $\mathrm{E} \xi=0 \times \frac{6}{75}+1 \times \frac{28}{75}+2 \times \frac{31}{75}+3 \times \frac{10}{75}=\frac{8}{5}$ ．
【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算 $\mathrm{P}(\xi=2)$ 时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．