（13 分）已知函数 f(x)=a x^ 2 +1(a>0…——2012 高考数学第 18 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】（1）根据曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 与曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求 $\mathrm{a} , \mathrm{~b}$ 的值；
（2）根据 $a^{2}=4 b$ ，构建函数 $h(x)=f(x)+g(x)=x^{3}+a x^{2}+\frac{1}{4} a^{2} x+1$ ，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（－ $\infty,-1$ ）上的最大值．

【解答】解：（1）$f(x)=a x^{2}+1(a>0)$ ，则 $f^{\prime}(x)=2 a x, k_{1}=2 a, g(x)=x^{3}+b x$ ，则 $\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^{2}+\mathrm{b}, \mathrm{k}_{2}=3+\mathrm{b}$ ，

由（1，c）为公共切点，可得：2a＝3＋b（1）
又 $f(1)=a+1, g(1)=1+b$ ，
$\therefore a+1=1+b$ ，即 $a=b$ ，代入（1）式可得：$\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=3\end{array}\right.$ ．
②由题设 $a^{2}=4 b$ ，设 $h(x)=f(x)+g(x)=x^{3}+a x^{2}+\frac{1}{4} a^{2} x+1$
则 $h^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x+\frac{1}{4} a^{2}$ ，令 $h^{\prime}(x)=0$ ，解得：$x_{1}=-\frac{a}{2}, x_{2}=-\frac{a}{6}$ ；
$\because a>0, \quad \therefore-\frac{a}{2}<-\frac{a}{6}$,

∴ 原函数在 $\left(-\infty,-\frac{a}{2}\right)$ 单调递增，在 $\left(-\frac{a}{2},-\frac{a}{6}\right)$ 单调递减，在 $\left(-\frac{a}{6},+\infty\right)$上单调递增

（1）若 $-1 \leqslant-\frac{a}{2}$ ，即 $0（2）若 $-\frac{a}{2}<-1<-\frac{a}{6}$ ，即 $2（3）若 $-1 \geqslant-\frac{a}{6}$ 时，即 $a \geqslant 6$ 时，最大值为 $h\left(-\frac{a}{2}\right)=1$ ．
综上所述：当 $a \in(0,2]$ 时，无最大值；当 $a \in(2,+\infty)$ 时，最大值为 $h\left(-\frac{a}{2}\right)=1$.

【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．