（12分）已知过点 A(0,1) 且斜率为 k 的直线 l…——2015 高考数学第 20 题答案解析

【考点】90：平面向量数量积的性质及其运算；J9：直线与圆的位置关系．
【专题】26：开放型；5B：直线与圆．
【分析】（1）由题意可得，直线 $l$的斜率存在，用点斜式求得直线 $l$的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得 k 的值，可得满足条件的 k 的范围．
（2）由题意可得，经过点 $M , N , A$ 的直线方程为 $y=k x+1$ ，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．

【解答】①由题意可得，直线 $l$的斜率存在，
设过点 $A(0,1)$ 的直线方程：$y=k x+1$ ，即：$k x-y+1=0$ ．
由已知可得圆 C 的圆心 C 的坐标 $(2,3)$ ，半径 $\mathrm{R}=1$ ．
故由 $\frac{|2 k-3+1|}{\sqrt{k^{2}+1}}<1$ ，
故当 $\frac{4-\sqrt{7}}{3}<k<\frac{4+\sqrt{7}}{3}$ ，过点 $A(0,1)$ 的直线与圆C：$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$相交于 $M$ ，$N$ 两点。
（2）设 $M\left(x_{1}, y_{1}\right) ; N\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
由题意可得，经过点 $M , N , A$ 的直线方程为 $y=k x+1$ ，代入圆 $C$ 的方程 $(x-2)^{2+} (y-3)^{2}=1$,

可得 $\left(1+k^{2}\right) x^{2}-4(k+1) x+7=0$ ，
$\therefore x_{1}+x_{2}=\frac{4(1+k)}{1+k^{2}}, \quad x_{1} \bullet x_{2}=\frac{7}{1+k^{2}}$ ，
$\therefore y_{1} \bullet y_{2}=\left(k_{1}+1\right) \quad\left(k_{2}+1\right)=k^{2} x_{1} x_{2}+k\left(x_{1}+x_{2}\right)+1$
$=\frac{7}{1+k^{2}} \cdot k^{2}+k \cdot \frac{4(1+k)}{1+k^{2}}+1=\frac{12 k^{2}+4 k+1}{1+k^{2}}$,
由 $\overrightarrow{\mathrm{OM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ON}}=x_{1} \cdot x_{2}+y_{1} \cdot y_{2}=\frac{12 k^{2}+4 k+8}{1+k^{2}}=12$ ，解得 $k=1$ ，

故直线 $l$ 的方程为 $y=x+1$ ，即 $x-y+1=0$ ．
圆心 $C$ 在直线 $l$ 上，$M N$ 长即为圆的直径．
所以 $|\mathrm{MN}|=2$ 。
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力。