（12分）已知抛物线C： y^ 2 =2 p x ~(p>…——2014 高考数学第 21 题答案解析

【考点】 KH ：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（ I ）设点 Q 的坐标为 $\left(\mathrm{x}_{0}, 4\right)$ ，把点 Q 的坐标代入抛物线 C 的方程，求得 $x_{0}=\frac{8}{\mathrm{p}}$ ，根据 $|Q F|=\frac{5}{4}|P Q|$ 求得 $p$ 的值，可得 $C$ 的方程．
（II）设I的方程为

$$ x=m y+1 $$

（ $m \neq 0$ ），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长 $|\mathrm{AB}|$ ．把直线I’的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式

求得 $|M N|$ ．由于 $M N$ 垂直平分线段 $A B$ ，故 $A M B N$ 四点共圆等价于 $|A E|=|B E|= \frac{1}{2}|M N|$ ，由此求得 $m$ 的值，可得直线 $\mid$ 的方程．
【解答】解：（ I ）设点 Q 的坐标为 $\left(\mathrm{x}_{0}, 4\right)$ ，把点 Q 的坐标代入抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2} =2 p x(p>0)$ ，
可得 $x_{0}=\frac{8}{p}, \because$ 点 $P(0,4), \therefore|P Q|=\frac{8}{p}$ ．
又 $|\mathrm{QF}|=\mathrm{x}_{0}+\frac{\mathrm{p}}{2}=\frac{8}{\mathrm{p}}+\frac{\mathrm{p}}{2},|\mathrm{QF}|=\frac{5}{4}|\mathrm{PQ}|$ ，
$\therefore \frac{8}{\mathrm{p}}+\frac{\mathrm{p}}{2}=\frac{5}{4} \times \frac{8}{\mathrm{p}}$ ，求得 $\mathrm{p}=2$ ，或 $\mathrm{p}=-2$（舍去）．
故 $C$ 的方程为 $y^{2}=4 x$ ．
（II）由题意可得，直线 $\mid$ 和坐标轴不垂直，$y^{2}=4 x$ 的焦点 $F(1,0)$ ，设I的方程为 $x=m y+1(m \neq 0)$ ，

代入抛物线方程可得 $y^{2}-4 m y-4=0$ ，显然判别式 $\Delta=16 m^{2}+16>0, y_{1}+y_{2}=4 m, y_{1}$
$-y_{2}=-4$ ．
$\therefore A B$ 的中点坐标为 $D\left(2 m^{2}+1,2 m\right)$ ，弦长 $|A B|=\sqrt{m^{2}+1}\left|y_{1}-y_{2}\right|=\sqrt{m^{2}+1}$

$$ \sqrt{\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}-4 y_{1} y_{2}}=4\left(m^{2}+1\right) $$

又直线 $I^{\prime}$ 的斜率为 $-m$ ，∴ 直线 $I^{\prime}$ 的方程为 $x=-\frac{1}{m} y+2 m^{2}+3$ ．
过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $A B$ 的垂直平分线 $I$ 与 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，把线I’的方程代入抛物线方程可得

$$ y^{2}+\frac{4}{m} y-4\left(2 m^{2}+3\right)=0, \quad \therefore y_{3}+y_{4}=\frac{-4}{m}, \quad y_{3} \cdot y_{4}=-4\left(2 m^{2}+3\right) $$

故线段 $M N$ 的中点 $E$ 的坐标为 $\left(\frac{2}{m^{2}}+2 m^{2}+3, \frac{-2}{m}\right), \quad \therefore|M N|=\sqrt{1+\frac{1}{m^{2}}}\left|y_{3}-y_{4}\right|=$

$$ \frac{4\left(m^{2}+1\right) \cdot \sqrt{2 m^{2}+1}}{m^{2}} $$

$\because M N$ 垂直平分线段 $A B$ ，故 $A M B N$ 四点共圆等价于 $|A E|=|B E|=\frac{1}{2}|M N|$ ， $\therefore \frac{1}{4} \cdot A B^{2}+D E^{2}=\frac{1}{4} M N^{2}$ ，
$\therefore 4\left(m^{2}+1\right)^{2}+\left(2 m+\frac{2}{m}\right)^{2}+\left(\frac{2}{m^{2}}+2\right)^{2}=\frac{1}{4} \times \frac{16 \cdot\left(m^{2}+1\right)^{2} \cdot\left(2 m^{2}+1\right)}{m^{4}}$ ，化简可得

$\mathrm{m}^{2}-1=0$,
$\therefore \mathrm{m}= \pm 1, \quad \therefore$ 直线 $l$ 的方程为 $x-y-1=0$ ，或 $x+y-1=0$ ．
【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．