（本小题满分 12 分） 圆 x^ 2 +y^ 2 =4…——2014 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（I）$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$ ；（II）$x-\left(\frac{3 \sqrt{6}}{2}-1\right) y-\sqrt{3}=0$ ，或 $x+\left(\frac{3 \sqrt{6}}{2}-1\right) y-\sqrt{3}=0$ ．．

## 【解析】

试题分析：（I）设切点坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0}>0, y_{0}>0\right)$ ，则切线斜率为 $-\frac{x_{0}}{y_{0}}$ ，切线方程为
$y-y_{0}=-\frac{x_{0}}{y_{0}}\left(x-x_{0}\right)$ ，即 $x_{0} x+y_{0} y=4$ ，此时，学科㖇众坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 $S=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{x_{0}} \cdot \frac{4}{y_{0}}=\frac{8}{x_{0} y_{0}}$ ．由 $x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}=4 \geq 2 x_{0} y_{0}$ 知当且仍当 $x_{0}=y_{0}=\sqrt{2}$ 时 $x_{0} y_{0}$ 有最大值，即 $S$ 有最小值，因此点 $P$ 得坐标为 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ ，由题意知 $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{a^{2}}-\frac{2}{b^{2}}=1 \\ a^{2}+b^{2}=3 a^{2}\end{array}\right.$ 解得 $a^{2}=1, b^{2}=2$ ，即可求出 $C_{1}$ 的方程；（II）由 （I）知 $C_{2}$ 的焦点坐标为 $(-\sqrt{3}, 0),(\sqrt{3}, 0)$ ，由此 $C_{2}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{3+b_{1}^{2}}+\frac{y^{2}}{b_{1}^{2}}=1$ ，其中 $b_{1}>0$ ．

由 $P(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ 在 $C_{2}$ 上，得 $\frac{2}{3+b_{1}^{2}}+\frac{2}{b_{1}^{2}}=1$ ，显笑，$l$ 不是直线 $y=0$ ．设 $l$ 的方程为 $x=m y+\sqrt{3}$ ，点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=m y+\sqrt{3} \\ \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{array}\right.$ 得 $\left(m^{2}+2\right) y^{2}+2 \sqrt{3} m y-3=0$ ，因 $\overrightarrow{A P}=\left(\sqrt{2}-x_{1}, \sqrt{2}-y_{1}\right), \overrightarrow{B P}=\left(\sqrt{2}-x_{2}, \sqrt{2}-y_{2}\right)$ 由题意知 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B P}=0$ ，所以 $x_{1} x_{2}-\sqrt{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)+y_{1} y_{2}-\sqrt{2}\left(y_{1}+y_{2}\right)+4=0$ ，将韦达定理得到的结果代入 $x_{1} x_{2}-\sqrt{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)+y_{1} y_{2}-\sqrt{2}\left(y_{1}+y_{2}\right)+4=0$ 式整理得 $2 m^{2}-2 \sqrt{6} m+4 \sqrt{6}-11=0$ ，解得 $m=\frac{3 \sqrt{6}}{2}-1$或 $m=-\frac{3 \sqrt{6}}{2}+1$ ，即可求出直线 $l$ 的方程．

试题解析：（I）设切点坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0}>0, y_{0}>0\right)$ ，则切线斜率为 $-\frac{x_{0}}{y_{0}}$ ，切线方程为
$y-y_{0}=-\frac{x_{0}}{y_{0}}\left(x-x_{0}\right)$ ，即 $x_{0} x+y_{0} y=4$ ，比时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 $S=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{x_{0}} \cdot \frac{4}{y_{0}}=\frac{8}{x_{0} y_{0}}$ 。由 $x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}=4 \geq 2 x_{0} y_{0}$ 知当且仅当 $x_{0}=y_{0}=\sqrt{2}$ 时 $x_{0} y_{0}$ 有最大值，即 $S$ 有最小值，因此点 $P$ 得坐标为 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ ，

由题意知
$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{a^{2}}-\frac{2}{b^{2}}=1 \\ a^{2}+b^{2}=3 a^{2}\end{array}\right.$ 解得 $a^{2}=1, b^{2}=2$, 故 $C_{1}$ 万程为 $x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$
（II）由（I）知 $C_{2}$ 的焦点坐标为 $(-\sqrt{3}, 0),(\sqrt{3}, 0)$ ，由此 $C_{2}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{3+b_{1}^{2}}+\frac{y^{2}}{b_{1}^{2}}=1$ ，其中 $b_{1}>0$ ．
由 $P(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ 在 $C_{2}$ 上，得 $\frac{2}{3+b_{1}^{2}}+\frac{2}{b_{1}^{2}}=1$ ，
显然，$l$ 不是直线 $y=0$ ．设 $l$ 的方程为 $x=m-\sqrt{3}$ ，高 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$
由 $\left\{\begin{array}{l}x=m y+\sqrt{3} \\ \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{array}\right.$ 得 $\left(m^{2}+2\right) y^{2}+2 \sqrt{3} m y-3=0$ ，又 $y_{1}, y_{2}$ 是方程的根，因此
$\left\{\begin{array}{ll}y_{1}+y_{2}=-\frac{2 \sqrt{3} m}{m^{2}+2} & \text {（1）} \\ y_{1} y_{2}=\frac{-3}{m^{2}+2} & \text {（2）}\end{array}\right.$ ，由 $x=m y_{1}+\sqrt{3}, x_{2}=m y_{2}+\sqrt{3}$ 得

$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=m\left(y_{1}+y_{2}\right)+2 \sqrt{3}=\frac{4 \sqrt{3}}{m^{2}+2} \\ x_{1} x_{2}=m^{2} y_{1} y_{2}+\sqrt{3} m\left(y_{1}+y_{2}\right)+3=\frac{6-6 m^{2}}{m^{2}+2}\end{array}\right.$

因 $\overrightarrow{A P}=\left(\sqrt{2}-x_{1}, \sqrt{2}-y_{1}\right), \overrightarrow{B P}=\left(\sqrt{2}-x_{2}, \sqrt{2}-y_{2}\right)$ 由题意年山 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B P}=0$ ，所以 $x_{1} x_{2}-\sqrt{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)+y_{1} y_{2}-\sqrt{2}\left(y_{1}+y_{2}\right)+4=0$⑤，将①，②，③，（4）代入⑤式整理得 $2 m^{2}-2 \sqrt{6} m+4 \sqrt{6}-11=0$ ，解得 $m=\frac{3 \sqrt{6}}{2}-1$ 或 $m=-\frac{3 \sqrt{6}}{2}+1$ ，因此直线 $l$ 的方程为 $x-\left(\frac{3 \sqrt{6}}{2}-1\right) y-\sqrt{3}=0$ ，或 $x+\left(\frac{3 \sqrt{6}}{2}-1\right) y-\sqrt{3}=0$ 。

考点：1．椭圆的方程；2．直线与椭圆的位置关系．