（3分）（2011•山东）已知双曲线 x^ 2 a^ 2…——2011 高考数学第 8 题答案解析

【解答】
（3分）（2011•山东）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线均和圆C：
$x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 相切，且双曲线的右焦点为圆 $C$ 的圆心，则该双曲线的方程为
A
－$\frac{x^{2}}{4^{2}}-\frac{y^{2}}{5^{2}}=1$
C $\frac{x^{2}}{3^{2}}-\frac{y^{2}}{6^{2}}=1$
－$\frac{x^{2}}{6^{2}}-\frac{y^{2}}{3^{2}}=1$

考点：圆与圆锥曲线的综合．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程。
分析：由题意因为圆C：$x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 把它变成圆的标准方程知其圆心为（ 3,0 ） ，利用双曲线的右焦点为圆 C 的圆心及双曲线的标准方程建立 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的方程。再利用双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线均和圆 $C: x^{2}+y^{2}-6 x+5=$ 0 相切，建立另一个 $\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b}$ 的方程。
解答：解：因为圆 $\mathrm{C}: \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-6 \mathrm{x}+5=0 \Leftrightarrow(\mathrm{x}-3)^{2}+\mathrm{y}^{2}=4$ ，由此知道圆心C（ 3,0 ），圆的半径为 2 ，又因为双曲线的右焦点为圆 C 的圆心而双曲线 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}> 0, b>0), \therefore a^{2}+b^{2}=9$（1）又双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线均和圆C：$x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 相切，而双曲线的渐近线方程为：$y= \pm \frac{b}{a} x \Leftrightarrow b x \pm a y=0$ ，$\frac{|3 b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=2$（2）连接（1）（2）得 $\left\{\begin{array}{l}b=2 \\ a^{2}=5\end{array}\right.$所以双曲线的方程为：$\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$ ，故选A．
点评：此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题。