12．（5分）设抛物线 $\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 的焦点为 F ，准线为 I ．已知点 C 在 I 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A ．若 $\angle \mathrm{FAC}=120^{\circ}$ ，则圆的方程为 $\_\_\_\_$ ．
参考答案
$(x+1)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=1$
（5分）设抛物线 y ^ 2 =4 x 的焦点为 F，准线…——2017 高考数学第 12 题答案解析
2017_天津卷 (2017·文)
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【解答】
（ 5 分）（ $2017 \bullet$ 天津）设抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $I$ ．已知点 $C$ 在 $I$ 上 ，以 $C$ 为圆心的圆与 $y$ 轴的正半轴相切于点 $A$ ．若 $\angle F A C=120^{\circ}$ ，则圆的方程为
$\xrightarrow{(x+1)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=1 .}$
【分析】根据题意可得 $\mathrm{F}(-1,0), \angle \mathrm{FAO}=30^{\circ}, \mathrm{OA}=\frac{\mathrm{OF}}{\tan \angle \mathrm{FAO}}=1$ ，由此求得 $O A$ 的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．
【解答】解：设抛物线 $\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 的焦点为 $\mathrm{F}(1,0)$ ，准线 $\mathrm{I}: \mathrm{x}=-1, \because$ 点 C 在 I 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切与点 A ，
$\because \angle \mathrm{FAC}=120^{\circ}, \quad \therefore \angle \mathrm{FAO}=30^{\circ}, \quad \therefore \mathrm{OA}=\frac{\mathrm{OF}}{\tan \angle \mathrm{FAO}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=1, \quad \therefore \mathrm{OA}=\sqrt{3}, \quad \therefore \mathrm{~A}$（0，
$\sqrt{3})$ ，如图所示：
$\therefore C(-1, \sqrt{3})$ ，圆的半径为 $C A=1$ ，故要求的圆的标准方程为
$(x+1)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=1$,
故答案为：$(x+1)^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=1$ ．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题。
✅ 来源：2017年 · 天津 · 2017_天津卷 (2017·文) · 第 12 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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