（20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 x^ 2 a^…——2010 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分 12分

（ I ）解：由 $\mathrm{e}=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，得 $3 a^{2}=4 c^{2}$ ，再由 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ ，得 $a=2 b$
由题意可知，$\frac{1}{2} \times 2 a \times 2 b=4$ ，即 $a b=2$
解方程组 $\left\{\begin{array}{l}a=2 b \\ a b=2\end{array}\right.$ 得 $\mathrm{a}=2, \mathrm{~b}=1$
所以椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$
（II）解：由①可知 $\mathrm{A}(-2,0)$ 。设 B 点的坐标为 $\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right)$ ，直线 $l$ 的斜率为 k ，则直线 $l$ 的方程为 $y=k(x+2)$ ，
于是 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点的坐标满足方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x+2) \\ \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\end{array}\right.$
由方程组消去 Y 并整理，得 $\left(1+4 k^{2}\right) x^{2}+16 k^{2} x+\left(16 k^{2}-4\right)=0$
由 $-2 x_{1}=\frac{16 k^{2}-4}{1+4 k^{2}}$ ，得
$x_{1}=\frac{2-8 k^{2}}{1+4 k^{2}}$ ，从而 $y_{1}=\frac{4 k}{1+4 k^{2}}$ ，
设线段 AB 是中点为 M ，则 M 的坐标为 $\left(-\frac{8 k^{2}}{1+4 k^{2}}, \frac{2 k}{1+4 k^{2}}\right)$
以下分两种情况：
①当 $\mathrm{k}=0$ 时，点 B 的坐标为 $(2,0)$ 。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是
$\overrightarrow{Q A}=\left(-2,-y_{0}\right), \overrightarrow{Q B}=\left(2,-y_{0}\right)$ 由 $\overrightarrow{Q A} \cdot \overrightarrow{Q B}=4$ ，得 $y_{0}= \pm 2 \sqrt{2}$
②当 $\mathrm{K} \neq 0$ 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 $Y-\frac{2 k}{1+4 k^{2}}=\frac{1}{k}\left(x+\frac{8 k^{2}}{1+4 k^{2}}\right)$

令 $\mathrm{x}=0$ ，解得 $y_{0}=\frac{6 k}{1+4 k^{2}}$
由 $\overrightarrow{Q A}=\left(-2,-\mathrm{y}_{0}\right), \overrightarrow{Q B}=\left(x_{1}, y_{1}-y_{0}\right)$
$\overrightarrow{Q A} \cdot \overrightarrow{Q B}=-2 x_{1}-y_{0}\left(y_{1}-y_{0}\right)=\frac{-2\left(2-8 k^{2}\right)}{1+4 k^{2}}+\frac{6 k}{1+4 k^{2}}\left(\frac{4 k}{1+4 k^{2}}+\frac{6 k}{1+4 k^{2}}\right)$

$$ =\frac{4\left(16 k^{4}+15 k^{2}-1\right)}{\left(1+4 k^{2}\right)^{2}}=4 $$

整理得 $7 k^{2}=2$ ，故 $k= \pm \frac{\sqrt{14}}{7}$ 所以 $y_{0}= \pm \frac{2 \sqrt{14}}{5}$
综上 $y_{0}= \pm 2 \sqrt{2}$ 或 $y_{0}= \pm \frac{2 \sqrt{14}}{5}$