（本小题满分 14 分） 设函数 f(x)= ln x 1…——2008 高考数学第 22 题答案解析

【解答】
本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力。满分 14 分。

解：（ I ）$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x(1+x)}-\frac{\ln x}{(1+x)^{2}}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=-\frac{\ln x}{(1+x)^{2}}$ ．

故当 $x \in(0,1)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，
$x \in(1,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ．

所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 单调递增，在 $(1,+\infty)$ 单调递减．

由此知 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 的极大值为 $f(1)=\ln 2$ ，没有极小值．
（II）（i ）当 $a \leqslant 0$ 时，
由于 $f(x)=\frac{(1+x) \ln (1+x)-x \ln x}{1+x}=\frac{\ln (1+x)+x[\ln (1+x)-\ln x]}{1+x}>0$ ，

故关于 $x$ 的不等式 $f(x) \geqslant a$ 的解集为 $(0,+\infty)$ ．
（ii）当 $a>0$ 时，由 $f(x)=\frac{\ln x}{1+x}+\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 知 $f\left(2^{n}\right)=\frac{\ln 2^{n}}{1+2^{n}}+\ln \left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$ ，其中 $n$ 为正整数，且有
$\ln \left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)<\frac{a}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2^{n}}-\log _{2}\left(e^{\frac{a}{2}}-1\right)$.

又 $n \geqslant 2$ 时，$\frac{\ln 2^{n}}{1+2^{n}}=\frac{n \ln 2}{1+(1+1)^{n}}<\frac{n \ln 2}{\frac{n(n-1)}{2}}=\frac{2 \ln 2}{n-1}$ ．

且 $\frac{2 \ln 2}{n-1}<\frac{a}{2} \Leftrightarrow n>\frac{4 \ln 2}{a}+1$ ．
取整数 $n_{0}$ 满足 $n_{0}>-\log _{2}\left(e^{\frac{n}{2}}-1\right), n_{0}>\frac{4 \ln 2}{a}+1$ ，且 $n_{0} \geqslant 2$ ，
则 $f\left(2^{n_{0}}\right)=\frac{n_{0} \ln 2}{1+2^{n_{0}}}+\ln \left(1+\frac{1}{2^{n_{0}}}\right)<\frac{a}{2}+\frac{a}{2}=a$ ，
即当 $a>0$ 时，关于 $x$ 的不等式 $f(x) \geqslant a$ 的解集不是 $(0,+\infty)$ ．

综合（i）（ii）知，存在 $a$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $f(x) \geqslant a$ 的解集为 $(0,+\infty)$ ，且 $a$ 的取值范围为 $(-\infty, 0]$ ．

14分