（5分）已知双曲线 x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^…——2017 高考数学第 5 题答案解析

【解答】
（5分）（2017•天津）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为F ，点 $A$ 在双曲线的渐近线上，$\triangle O A F$ 是边长为2的等边三角形（ $O$ 为原点），则双曲线的方程为（ ）
A．$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$
B．$\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{4}=1$
C．$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$
D．$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$

【分析】利用三角形是正三角形，推出 $a$ ，$b$ 关系，通过 $c=2$ ，求解 $a$ ，$b$ ，然后等

到双曲线的方程．
【解答】解：双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $A$ 在双曲线的渐近线上，$\triangle \mathrm{OAF}$ 是边长为 2 的等边三角形（ O 为原点），

可得 $c=2, \frac{b}{a}=\sqrt{3}$ ，即 $\frac{b^{2}}{a^{2}}=3, \frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}=3$ ，
解得 $a=1, b=\sqrt{3}$ ，双曲线的焦点坐标在 $x$ 轴，所得双曲线方程为：$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ ．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．