（12分）已知抛物线C： y=(x+1) 2 与圆 M:(…——2012 高考数学第 21 题答案解析

【考点】IM：两条直线的交点坐标；IT：点到直线的距离公式； KJ ：圆与圆锥曲线的综合。

【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（I）设A $\left(\mathrm{x}_{0},\left(\mathrm{x}_{0}+1\right)^{2}\right)$ ，根据 $\mathrm{y}=(\mathrm{x}+1)^{2}$ ，求出I的斜率，圆心M （1，$\frac{1}{2}$ ），求得 MA 的斜率，利用 $\mathrm{I} \perp \mathrm{MA}$ 建立方程，求得 A 的坐标，即可求得 r的值；
（II）设 $\left(\mathrm{t}, ~(\mathrm{t}+1)^{2}\right)$ 为C上一点，则在该点处的切线方程为 $\mathrm{y}-(\mathrm{t}+1)^{2}=2 (t+1)(x-t)$ ，即 $y=2(t+1) x-t^{2}+1$ ，若该直线与圆 $M$ 相切，则圆心 $M$ 到该切线的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，建立方程，求得 t 的值，求出相应的切线方程，可得 D的坐标，从而可求 D 到 I 的距离。

【解答】解：（I ）设A $\left(\mathrm{x}_{0},\left(\mathrm{x}_{0}+1\right)^{2}\right)$ ，
$\because y=(x+1)^{2}, y^{\prime}=2(x+1)$
$\therefore \mathrm{I}$ 的斜率为 $\mathrm{k}=2\left(\mathrm{x}_{0}+1\right)$
当 $x_{0}=1$ 时，不合题意，所以 $x_{0} \neq 1$
圆心 $M\left(1, \frac{1}{2}\right), M A$ 的斜率 $k^{\prime}=\frac{\left(x_{0}+1\right)^{2}-\frac{1}{2}}{x_{0}-1}$ ．
$\because \mid \perp M A, \therefore 2\left(x_{0}+1\right) \times \frac{\left(x_{0}+1\right)^{2}-\frac{1}{2}}{x_{0}-1}=-1$
$\therefore \mathrm{x}_{0}=0, \quad \therefore \mathrm{~A}(0,1)$,
$\therefore \mathrm{r}=|\mathrm{MA}|=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ；
（II）设 $\left(\mathrm{t},(\mathrm{t}+1)^{2}\right)$ 为C上一点，则在该点处的切线方程为 $\mathrm{y}-(\mathrm{t}+1)^{2}=2$

$$ (t+1)(x-t), ~ \text { 即 } y=2(t+1) x-t^{2}+1 $$

若该直线与圆 $M$ 相切，则圆心 $M$ 到该切线的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$
$\therefore \frac{\left|2(t+1) \times 1-\frac{1}{2}-t^{2}+1\right|}{\sqrt{[2(t+1)]^{2}+1}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
$\therefore t^{2}\left(t^{2}-4 t-6\right)=0$
$\therefore t_{0}=0$ ，或 $t_{1}=2+\sqrt{10}, t_{2}=2-\sqrt{10}$
抛物线 $C$ 在点 $\left(t_{i},\left(t_{i}+1\right)^{2}\right)(i=0,1,2)$ 处的切线分别为 $l, m, n$ ，其方程分别为
$y=2 x+1$①，$y=2\left(t_{1}+1\right) x-t_{1}{ }^{2}+1$②，$y=2\left(t_{2}+1\right) x-t_{2}{ }^{2}+1$（3）
（2）－（3）：$x=\frac{t_{1}+t_{2}}{2}=2$
代入②可得： $\mathrm{y}=-1$
∴ $\mathrm{D}(2,-1)$ ，
$\therefore \mathrm{D}$ 到I的距离为 $\frac{|4+1+1|}{\sqrt{5}}=\frac{6}{5} \sqrt{5}$
【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标。