2015_新课标 I 卷 (2015·理)
20．（12分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{4}$ 与直线 $l: y=k x+a(a>0)$ 交于 $M, N$ 两点．
（I）当 $\mathrm{k}=\mathrm{O}$ 时，分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程．
（II） y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有 $\angle O P M=\angle O P N$ ？（说明理由）
【考点】 KH ：直线与圆锥曲线的综合．
【分析】（I）联立 $\left\{\begin{array}{l}y=a \\ y=\frac{x^{2}}{4}\end{array}\right.$ 可得交点 $M, N$ 的坐标，由曲线 $C: y=\frac{x^{2}}{4}$ ，利用导数的运算法则可得：$y^{\prime}=\frac{x}{2}$ ，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程
（II）存在符合条件的点（ $0,-a$ ），设 $\mathrm{P}(0, b)$ 满足 $\angle \mathrm{OPM}=\angle \mathrm{OPN} . \mathrm{M}\left(\mathrm{x}_{1}\right.$ ， $\left.y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，直线 $P M, P N$ 的斜率分别为：$k_{1}, k_{2}$ ．直线方程与抛物线方程联立化为 $x^{2}-4 k x-4 a=0$ ，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得 $k_{1}+k_{2} =\frac{k(a+b)}{a} \cdot k_{1}+k_{2}=0 \Leftrightarrow$ 直线 $P M, P N$ 的倾斜角互补 $\Leftrightarrow \angle O P M=\angle O P N$ ．即可证明．
【解答】解：（1）联立 $\left\{\begin{array}{l}y=a \\ y=\frac{x^{2}}{4}\end{array}\right.$ 不妨取M（ $2 \sqrt{a}, a$ ），N（ $-2 \sqrt{a}, a$ ），
由曲线C：$y=\frac{x^{2}}{4}$ 可得：$y^{\prime}=\frac{x}{2}$ ，
∴ 曲线 $C$ 在 $M$ 点处的切线斜率为 $\frac{2 \sqrt{a}}{2}=\sqrt{a}$ ，其切线方程为：$y-a=\sqrt{a}(x-2 \sqrt{a})$ ，化为 $\sqrt{a} x-y-a=0$ ．
同理可得曲线 $C$ 在点 $N$ 处的切线方程为：$\sqrt{a} x+y+a=0$ ．
（II）存在符合条件的点（ 0 ，－a），下面给出证明：
设 $\mathrm{P}(0, \mathrm{~b})$ 满足 $\angle \mathrm{OPM}=\angle \mathrm{OPN} . \mathrm{M}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{N}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ ，直线 $\mathrm{PM}, \mathrm{PN}$ 的斜率分别为：$k_{1}, k_{2}$ ．
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+a \\ y=\frac{x^{2}}{4}\end{array}\right.$ ，化为 $x^{2}-4 k x-4 a=0$ ，
$\therefore \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=4 \mathrm{k}, \quad \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=-4 \mathrm{a}$ ．
$\therefore \mathrm{k}_{1}+\mathrm{k}_{2}=\frac{\mathrm{y}_{1}-\mathrm{b}}{\mathrm{x}_{1}}+\frac{\mathrm{y}_{2}-\mathrm{b}}{\mathrm{x}_{2}}=\frac{2 \mathrm{k} \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}+(\mathrm{a}-\mathrm{b})\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}\right)}{\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}}=\frac{\mathrm{k}(\mathrm{a}+\mathrm{b})}{\mathrm{a}}$ ．
当 $b=-a$ 时，$k_{1}+k_{2}=0$ ，直线 $P M, P N$ 的倾斜角互补，
$\therefore \angle \mathrm{OPM}=\angle \mathrm{OPN}$ ．
∴ 点 $\mathrm{P}(0,-\mathrm{a})$ 符合条件．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直
线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．