（12分）在直角坐标系 x O y 中，曲线 C: y=…——2015 高考数学第 20 题答案解析

（I）当 $k=0$ 时，直线 $l$ 的方程为 $y=a$。
联立曲线 $C$ 与直线 $l$ 的方程：
$$ \begin{cases} y = \frac{x^2}{4} \\ y = a \end{cases} $$
解得 $x^2 = 4a$。因为 $a>0$，所以 $x = \pm 2\sqrt{a}$。
不妨设 $M(2\sqrt{a}, a)$，$N(-2\sqrt{a}, a)$。

对曲线 $C: y=\frac{x^2}{4}$ 求导，得 $y' = \frac{x}{2}$。
在点 $M(2\sqrt{a}, a)$ 处，切线斜率 $k_M = \frac{2\sqrt{a}}{2} = \sqrt{a}$。
由点斜式方程可得切线方程为：
$$ y - a = \sqrt{a}(x - 2\sqrt{a}) $$
整理得：$\sqrt{a}x - y - a = 0$。

同理，在点 $N(-2\sqrt{a}, a)$ 处，切线斜率 $k_N = \frac{-2\sqrt{a}}{2} = -\sqrt{a}$。
切线方程为：
$$ y - a = -\sqrt{a}(x + 2\sqrt{a}) $$
整理得：$\sqrt{a}x + y + a = 0$。

故曲线 $C$ 在点 $M$ 和 $N$ 处的切线方程分别为 $\sqrt{a}x - y - a = 0$ 和 $\sqrt{a}x + y + a = 0$。

（II）假设 $y$ 轴上存在点 $P(0, b)$ 满足条件。
设 $M(x_1, y_1)$，$N(x_2, y_2)$。
联立直线 $l$ 与曲线 $C$ 的方程：
$$ \begin{cases} y = kx + a \\ y = \frac{x^2}{4} \end{cases} $$
消去 $y$ 得 $\frac{x^2}{4} = kx + a$，即 $x^2 - 4kx - 4a = 0$。
判别式 $\Delta = 16k^2 + 16a > 0$，故直线与曲线恒有两个交点。
由韦达定理可得：
$$ x_1 + x_2 = 4k, \quad x_1 x_2 = -4a $$

若 $\angle OPM = \angle OPN$，由于点 $P$ 在 $y$ 轴上，这意味着直线 $PM$ 与 $PN$ 关于 $y$ 轴对称（或倾斜角互补），即两直线的斜率之和为 $0$。
设直线 $PM$、$PN$ 的斜率分别为 $k_1$、$k_2$，则需满足 $k_1 + k_2 = 0$。
$$ k_1 + k_2 = \frac{y_1 - b}{x_1} + \frac{y_2 - b}{x_2} $$
将 $y_1 = kx_1 + a$，$y_2 = kx_2 + a$ 代入上式：
$$ \begin{aligned} k_1 + k_2 &= \frac{kx_1 + a - b}{x_1} + \frac{kx_2 + a - b}{x_2} \\ &= k + \frac{a - b}{x_1} + k + \frac{a - b}{x_2} \\ &= 2k + (a - b)\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\right) \\ &= 2k + (a - b)\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} \end{aligned} $$
代入韦达定理的结果 $x_1 + x_2 = 4k$ 和 $x_1 x_2 = -4a$：
$$ \begin{aligned} k_1 + k_2 &= 2k + (a - b)\frac{4k}{-4a} \\ &= 2k - \frac{k(a - b)}{a} \\ &= k \left( 2 - \frac{a - b}{a} \right) \\ &= k \left( \frac{2a - a + b}{a} \right) \\ &= \frac{k(a + b)}{a} \end{aligned} $$
要使 $\angle OPM = \angle OPN$ 对任意 $k$ 成立，必须有 $k_1 + k_2 = 0$ 恒成立。
即 $\frac{k(a + b)}{a} = 0$ 对任意 $k$ 成立。
因为 $a > 0$，所以必须满足 $a + b = 0$，解得 $b = -a$。

此时点 $P$ 的坐标为 $(0, -a)$。
当 $b = -a$ 时，$k_1 + k_2 = 0$，即 $k_1 = -k_2$。这表明直线 $PM$ 与 $PN$ 的倾斜角互补，从而 $\angle OPM = \angle OPN$ 成立。

综上所述，$y$ 轴上存在点 $P(0, -a)$，使得当 $k$ 变动时，总有 $\angle OPM = \angle OPN$。