（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在 10…——2012 高考数学第 20 题答案解析

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CA：n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率．

【专题】51：概率与统计。
【分析】（I）记 $A_{i}$ 表示事件：第 1 次和第 2 次这两次发球，甲共得 $i$ 分，$i=0,1$ ，2，$B_{\mathrm{i}}$ 表示事件：第 3 次和第 4 次这两次发球，甲共得 i 分， $\mathrm{i}=0,1,2, \mathrm{~A}$ 表示事件：第 3 次发球，甲得 1 分，B 表示事件：开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为1比2，$C$ 表示事件：开始第 5 次发球时，甲得分领先．$B=A_{0} \cdot A+A_{1} \cdot \bar{A}$ ，由此能求出开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 ： 2 的概率．
（II） $\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{0}\right)=0.6^{2}=0.36, \mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1}\right)=2 \times 0.4 \times 0.6=0.48, \mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{2}\right)=0.4^{2}=0.16$ ， $P\left(A_{2}\right)=0.6^{2}=0.36$ ，由 $C=A_{1} \bullet B_{2}+A_{2} \bullet B_{1}+A_{2} \bullet B_{2}$ ，能求出开始第 5 次发球时，甲领先得分的概率．

【解答】解：（I）记 $\mathrm{A}_{\mathrm{i}}$ 表示事件：第 1 次和第 2 次这两次发球，甲共得 i 分， $\mathrm{i}=0$ ，1，2，
$B_{i}$ 表示事件：第 3 次和第 4 次这两次发球，甲共得 $i$ 分，$i=0,1,2$ ，
$A$ 表示事件：第 3 次发球，甲得 1 分，
B表示事件：开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 ，
C表示事件：开始第 5 次发球时，甲得分领先。
$\therefore B=A_{0} \cdot A+A_{1} \cdot \bar{A}$ ，
$P(A)=0.4, P\left(A_{0}\right)=0.4^{2}=0.16$ ，
$P\left(A_{1}\right)=2 \times 0.6 \times 0.4=0.48$ ，
$P(B)=P\left(A_{0} \cdot A+A_{1} \cdot \bar{A}\right)$

$$ \begin{aligned} & =P\left(A_{0} \cdot A\right)+P\left(A_{1} \cdot \bar{A}\right) \\ & =P\left(A_{0}\right) P(A)+P\left(A_{1}\right) P(\bar{A}) \\ & =0.16 \times 0.4+0.48 \times(1-0.4) \\ & =0.352 . \end{aligned} $$

答：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率是 0.352 ．

$$ \begin{aligned} & (\text { II }) P\left(B_{0}\right)=0.6^{2}=0.36, \\ & P\left(B_{1}\right)=2 \times 0.4 \times 0.6=0.48, \\ & P\left(B_{2}\right)=0.4^{2}=0.16, \\ & P\left(A_{2}\right)=0.6^{2}=0.36, \\ & \because C=A_{1} \bullet B_{2}+A_{2} \bullet B_{1}+A_{2} \bullet B_{2}, \\ & \therefore P(C)=P\left(A_{1} \bullet B_{2}+A_{2} B_{1}+A_{2} \bullet B_{2}\right) \\ & =P\left(A_{1} \bullet B_{2}\right)+P\left(A_{2} \bullet B_{1}\right)+P\left(A_{2} \bullet B_{2}\right) \\ & =P\left(A_{1}\right) P(B)+P\left(A_{2}\right) P\left(B_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) P\left(B_{2}\right) \\ & =0.48 \times 0.16+0.36 \times 0.48+0.36 \times 0.16 \\ & =0.3072 . \end{aligned} $$

答：开始第 5 次发球时，甲领先得分的概率是 0.3072 ．
【点评】本题考查事件的概率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意 n 次独立重复试验的性质和公式的灵活运用。