（2012•天津）已知 a _ n 是等差数列，其前 n…——2012 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（2012•天津）已知 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列，其前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}},\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等比数列，且 $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{b}_{1}=2, \mathrm{a}_{4}+\mathrm{b}_{4}=27, \mathrm{~S}_{4}-\mathrm{b}_{4}=10$ ．
（1）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 与 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $T_{n}=a_{n} b_{1}+a_{n-1} b_{2}+\ldots+a_{1} b_{n}, n \in N^{*}$ ，证明：$T_{n}-8=a_{n-1} b_{n+1} ~\left(n \in N^{*}, n \geq 2\right) ~$ 。

考点 等差数列与等比数列的综合；数列的求和。
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专题 计算题；证明题。
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分析（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．
：（2）先借助于错位相减法求出 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ 的表达式；再代入所要证明的结论的两边，即可得到结论成立．
解答 解：（1）设等差数列的公差为 d ，等比数列的首项为 q ，
：由 $a_{1}=b_{1}=2$ ，得 $a_{4}=2+3 d, b_{4}=2 q^{3}, s_{4}=8+6 d$ ，
由 $a_{4}+b_{4}=27, S_{4}-b_{4}=10$ ，得方程组 $\left\{\begin{array}{l}2+3 d+2 q^{3}=27 \\ 8+6 d-2 q^{3}=10\end{array}\right.$ ，
解得 $\left\{\begin{array}{l}d=3 \\ q=2\end{array}\right.$ ，
所以：$a_{n}=3 n-1, b_{n}=2^{n}$ 。
（2）证明：由第一问得：$T_{n}=a_{n} b_{1}+a_{n-1} b_{2}+\ldots+a_{1} b_{n}=2 \times 2+5 \times 2^{2}+8 \times 2^{3}+\ldots+(3 n-1) \times 2^{n}$ ；①；
$2 \mathrm{~T}_{\mathrm{n}}=2 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+\ldots+(3 \mathrm{n}-4) \times 2^{\mathrm{n}}+(3 \mathrm{n}-1) \times 2^{\mathrm{n}+1}$ ，（2）．
由①－②得，$-\mathrm{T}_{\mathrm{n}}=2 \times 2+3 \times 2^{2}+3 \times 2^{3}+\ldots+3 \times 2^{\mathrm{n}}-(3 \mathrm{n}-1) \times 2^{\mathrm{n}+1}$
$=\frac{6 \times\left(1-2^{n}\right)}{1-2}-(3 n-1) \times 2^{n+1}-2$
$=-(3 n-4) \times 2^{n+1}-8$ 。
即 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}-8=(3 \mathrm{n}-4) \times 2^{\mathrm{n}+1}$ 。
而当 $n \geq 2$ 时，$a_{n-1} b_{n+1}=(3 n-4) \times 2^{n+1}$ 。
$\therefore \mathrm{T}_{\mathrm{n}}-8=\mathrm{a}_{\mathrm{n}-1} \mathrm{~b}_{\mathrm{n}+1} \quad\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}, \mathrm{n} \geq 2\right)$ 。
点评 本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题。解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法。并 ：考察计算能力。