已知椭圆 C : x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^…——2014 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（1）$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ；② $2 \sqrt{3}$

## 【解析】

试题分析：（1）由已知得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}, c=2$ ，所以 $a=\sqrt{6}$ ，再由 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ 可得 $b$ ，从而得椭圆的标准方程．）椭圆方程化为 $x^{2}+3 y^{2}=6$ ．设 PQ 的方程为 $x=m y-2$ ，代入椭圆方程得：$\left(m^{2}+3\right) y^{2}-4 m y-2=0$ ．

面积 $S_{O P T Q}=2 S_{O P Q}=2 \times \frac{1}{2}|O F| \cdot\left|y_{1}-y_{2}\right|$ ，而 $\left|y_{1}-y_{2}\right|=\frac{\sqrt{\Delta}}{a}=\sqrt{\left(\frac{4 m}{m^{2}+3}\right)^{2}-4 \cdot \frac{-2}{m^{2}+3}}$ ，所以只要求出 $m$ 的值即可得面积．因为四边形 OPTQ 是平行四边形，所以 $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{Q T}$ ，即 $\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(-3-x_{2}, m-y_{2}\right)$ ．

再结合韦达定理即可得 $m$ 的值．
试题解析：（1）由已知得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}, c=2$ ，所以 $a=\sqrt{6}$
又由 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ，解得 $b=\sqrt{2}$ ，所以椭圆的标准方程为：$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ．
（2）椭圆方程化为 $x^{2}+3 y^{2}=6$ 。
设 T 点的坐标为 $(-3, m)$ ，则直线 TF 的斜率 $k_{T F}=\frac{m-0}{-3-(-2)}=-m$ ．
当 $m \neq 0$ 时，直线 PQ 的斜率 $k_{P Q}=\frac{1}{m}$ ，直线 PQ 的方程是 $x=m y-2$
当 $m=0$ 时，直线 PQ 的方程是 $x=-2$ ，也符合 $x=m y-2$ 的形式．
将 $x=m y-2$ 代入椭圆方程得：$\left(m^{2}+3\right) y^{2}-4 m y-2=0$ ．
其判别式 $\Delta=16 m^{2}+8\left(m^{2}+3\right)>0$ ．
设 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
则 $y_{1}+y_{2}=\frac{4 m}{m^{2}+3}, y_{1} y_{2}=\frac{-2}{m^{2}+3}, x_{1}+x_{2}=m\left(y_{1}+y_{2}\right)-4=\frac{-12}{m^{2}+3}$ ．
因为四边形 OPTQ 是平行四边形，所以 $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{Q T}$ ，即 $\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(-3-x_{2}, m-y_{2}\right)$ ．
所以 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=\frac{-12}{m^{2}+3}=-3 \\ y_{1}+y_{2}=\frac{4 m}{m^{2}+3}=m\end{array}\right.$ ，解得 $m= \pm 1$ ．
此时四边形 $O P T Q$ 的面积
$S_{O P T Q}=2 S_{O P Q}=2 \times \frac{1}{2}|O F| \cdot\left|y_{1}-y_{2}\right|=2 \sqrt{\left(\frac{4 m}{m^{2}+3}\right)^{2}-4 \cdot \frac{-2}{m^{2}+3}}=2 \sqrt{3}$ ．
【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积。