（12分）已知函数 f(x)=e^ x (a x+b)-x…——2013 高考数学第 20 题答案解析

【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方

程。
【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．
【分析】（I）求导函数，利用导数的几何意义及曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0$ ））处切线方程为 $y=4 x+4$ ，建立方程，即可求得 $a$ ，$b$ 的值；
（II）利用导数的正负，可得 $f(x)$ 的单调性，从而可求 $f(x)$ 的极大值．
【解答】解：（ I$) \because \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}(\mathrm{ax}+\mathrm{b})-\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}$ ，
$\therefore f^{\prime}(x)=e^{x}(a x+a+b)-2 x-4$ ，
∵ 曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f(0)$ ）处切线方程为 $y=4 x+4$
$\therefore f(0)=4, f^{\prime}(0)=4$
$\therefore \mathrm{b}=4, \quad \mathrm{a}+\mathrm{b}=8$
$\therefore \mathrm{a}=4, \quad \mathrm{~b}=4$ ；
（II）由（I）知，$f(x)=4 e^{x}(x+1)-x^{2}-4 x, f^{\prime}(x)=4 e^{x}(x+2)-2 x-4=4 (\mathrm{x}+2) \quad\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\frac{1}{2}\right)$,

令 $f^{\prime}(x)=0$ ，得 $x=-\ln 2$ 或 $x=-2$
$\therefore x \in(-\infty,-2)$ 或 $(-\ln 2,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0 ; x \in(-2,-\ln 2)$ 时，$f^{\prime}(x$ ）$<0$
$\therefore f(x)$ 的单调增区间是 $(-\infty,-2),(-\ln 2,+\infty)$ ，单调减区间是 $(-2$ ， $-\ln 2)$

当 $x=-2$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值，极大值为 $f(-2)=4\left(1-e^{-2}\right)$ ．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．