22．已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{a x}-\mathrm{e}^{x}$ ．
①当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
②当 $x>0$ 时，$f(x)<-1$ ，求 $a$ 的取值范围；
③设 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，证明：$\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}>\ln (n+1)$ ．
参考答案(1) $f(x)$ 的减区间为 $(-\infty, 0)$ ，增区间为 $(0,+\infty)$ ．; (2) $a \leq \frac{1}{2}$; (3) 见解析