2011_江苏卷 (2011)
18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$M, N$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 $P, A$ 两点，其中点 $P$ 在第一象限，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $C$ ，连接 $A C$ ，并延长交椭圆于点 $B$ ．设直线 $P A$ 的斜率为 $k$ ．
①当直线 $P A$ 平分线段 $M N$ ，求 $k$ 的值；
②当 $k=2$ 时，求点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离 $d$
；
（3）对任意 $k>0$ ，求证：$P A \perp P B$ ．
【解答】
本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分 16 分．
解：（1）由题设知，$a=2, b=\sqrt{2}$ ，故 $M(-2,0), N(0,-\sqrt{2})$ ，所以线段 $M N$ 中点的坐标为
$\left(-1,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ．由于直线 $P A$ 平分线段 $M N$ ，故直线 $P A$ 过线段 $M N$ 的中点，又直线 $P A$过坐标原点，所以 $k=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（2）直线 $P A$ 的方程为 $y=2 x$ ，代人楠圆方程得
$\frac{x^{2}}{4}+\frac{4 x^{2}}{2}=1$ ，解得 $x= \pm \frac{2}{3}$ ，因此 $P\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right), A\left(-\frac{2}{3},-\frac{4}{3}\right)$ ．
（第 18 喔）
于是 $C\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ ，直线 $A C$ 的斜率为 $\frac{0+\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}=1$ ，故直线 $A B$ 的方程为 $x-y-\frac{2}{3}=0$ ．
因此，$d=\frac{\left|\frac{2}{3}-\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\right|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ．
## （3）解法一：
将直线 $P A$ 的方程 $y=k x$ 代人 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ，解得 $x= \pm \frac{2}{\sqrt{1+2 k^{2}}}$ ，记 $\mu=\frac{2}{\sqrt{1+2 k^{2}}}$ ，
则 $P(\mu, \mu k), A(-\mu,-\mu k)$ ．于是 $C(\mu, 0)$ ．故直线 $A B$ 的斜率为 $\frac{0+\mu k}{\mu+\mu}=\frac{k}{2}$ ，
其方程为 $y=\frac{k}{2}(x-\mu)$ ，代人椭圆方程得 $\left(2+k^{2}\right) x^{2}-2 \mu k^{2} x-\mu^{2}\left(3 k^{2}+2\right)=0$ ，
解得 $x=\frac{\mu\left(3 k^{2}+2\right)}{2+k^{2}}$ 或 $x=-\mu$ ．因此 $B\left(\frac{\mu\left(3 k^{2}+2\right)}{2+k^{2}}, \frac{\mu k^{3}}{2+k^{2}}\right)$ ．
于是直线 $P B$ 的斜率 $k_{1}=\frac{\frac{\mu k^{3}}{2+k^{2}}-\mu k}{\frac{\mu\left(3 k^{2}+2\right)}{2+k^{2}}-\mu}=\frac{k^{3}-k\left(2+k^{2}\right)}{3 k^{2}+2-\left(2+k^{2}\right)}=-\frac{1}{k}$ ．
因此 $k_{1} k=-1$ ，所以 $P A \perp P B$ ．
## 解法二：
设 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则 $x_{1}>0, x_{2}>0, x_{1} \neq x_{2}, A\left(-x_{1},-y_{1}\right), C\left(x_{1}, 0\right)$ ．设直线 $P B, A B$的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ．因为 $C$ 在直线 $A B$ 上，所以 $k_{2}=\frac{0-\left(-y_{1}\right)}{x_{1}-\left(-x_{1}\right)}=\frac{y_{1}}{2 x_{1}}=\frac{k}{2}$ ．从而
$$ \begin{aligned} k_{1} k+1 & =2 k_{1} k_{2}+1=2 \cdot \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \cdot \frac{y_{2}-\left(-y_{1}\right)}{x_{2}-\left(-x_{1}\right)}+1 \\ & =\frac{2 y_{2}^{2}-2 y_{1}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}+1=\frac{\left(x_{2}^{2}+2 y_{2}^{2}\right)-\left(x_{1}^{2}+2 y_{1}^{2}\right)}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}=\frac{4-4}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}=0 \end{aligned} $$
因此 $k_{1} k=-1$ ，所以 $P A \perp P B$ ．