如图，椭圆 E: x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^…——2015 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（I）$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ ；（II）证明略，详见解析．

## 【解析】

试题分析：（I）由题意知 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}, b=1$ ，由 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ，解得 $a=\sqrt{2}$ ，继而得椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ ； （II）设 $P\left(x_{1} y_{1}\right), Q\left(x_{2} y_{2}\right)$ ，则 $x_{1} x_{2} \neq 0$ ，由题设知，直线 $P Q$ 的方程为 $y=k(x-1)+1(k \neq 2)$ ，代 $\lambda \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ ，化简得 $\left(1+2 k^{2}\right) x^{2}-4 k(k-1) x+2 k(k-2)=0$ ，则 $x_{1}+x_{2}=\frac{4 k(k-1)}{1+2 k^{2}}$①， $x_{1} x_{2}=\frac{2 k(k-2)}{1+2 k^{2}}$②，由已知 $\Delta>0$ ，从而直线 $A P$ 与 $A Q$ 的斜率之和 $k_{A P}+k_{A Q}=\frac{y_{1}+1}{x_{1}}+\frac{y_{2}+1}{x_{2}}$

化简得 $k_{A P}+k_{A Q}=2 k+(2-k) \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1} x_{2}}$ ，把①②式代入方程得 $k_{A P}+k_{A Q}=2$ 。
试题解析：（I）由题意知 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}, b=1$ ，综合 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ，解得 $a=\sqrt{2}$ ，所以，椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ ．
（II）由题设知，直线 $P Q$ 的方程为 $y=k(x-1)+1(k \neq 2)$ ，代入 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ ，得

$$ \left(1+2 k^{2}\right) x^{2}-4 k(k-1) x+2 k(k-2)=0 $$

由已知 $\Delta>0$ ，设 $P\left(x_{1} y_{1}\right), Q\left(x_{2} y_{2}\right), x_{1} x_{2} \neq 0$
则 $x_{1}+x_{2}=\frac{4 k(k-1)}{1+2 k^{2}}, x_{1} x_{2}=\frac{2 k(k-2)}{1+2 k^{2}}$ ，
从而直线 $A P$ 与 $A Q$ 的斜率之和

$$ \begin{aligned} k_{A P} & +k_{A Q}=\frac{y_{1}+1}{x_{1}}+\frac{y_{2}+1}{x_{2}}=\frac{k x_{1}+2-k}{x_{1}}+\frac{k x_{2}+2-k}{x_{1}} \\ & =2 k+(2-k)\left(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\right)=2 k+(2-k) \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1} x_{2}} \\ & =2 k+(2-k) \frac{4 k(k-1)}{2 k(k-2)}=2 k-(2 k-1)=2 \end{aligned} $$

【考点定位】1．椭圆的标准方程；2．圆锥曲线的定值问题．
【名师点睛】定值问题的处理常见的方法：（1）通过考查极端位置，探索出＂定值＂是多少，然后再进行一般性的证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形形式，证明该式是恒定的，如果以客观题形式出现，特殊方法往往比较快速奏效；②进行一般计算推理求出其结果。