【答案】（1） 0.6
②$\frac{1}{6} \times\left(\frac{2}{5}\right)^{i-1}+\frac{1}{3}$
（3）$E(Y)=\frac{5}{18}\left[1-\left(\frac{2}{5}\right)^{n}\right]+\frac{n}{3}$
## 【解析】
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
②设 $P\left(A_{i}\right)=p_{i}$ ，由题意可得 $p_{i+1}=0.4 p_{i}+0.2$ ，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
## 【小问 1 详解】
记＂第 i 次投篮的人是甲＂为事件 $A_{i}$ ，＂第 i 次投篮的人是乙＂为事件 $B_{i}$ ，
所以，$P\left(B_{2}\right)=P\left(A_{1} B_{2}\right)+P\left(B_{1} B_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(B_{2} \mid A_{1}\right)+P\left(B_{1}\right) P\left(B_{2} \mid B_{1}\right)$
$=0.5 \times(1-0.6)+0.5 \times 0.8=0.6$ ．
## 【小问 2 详解】
设 $P\left(A_{i}\right)=p_{i}$ ，依题可知，$P\left(B_{i}\right)=1-p_{i}$ ，则
$P\left(A_{i+1}\right)=P\left(A_{i} A_{i+1}\right)+P\left(B_{i} A_{i+1}\right)=P\left(A_{i}\right) P\left(A_{i+1} \mid A_{i}\right)+P\left(B_{i}\right) P\left(A_{i+1} \mid B_{i}\right)$,
即 $p_{i+1}=0.6 p_{i}+(1-0.8) \times\left(1-p_{i}\right)=0.4 p_{i}+0.2$ ，
构造等比数列 $\left\{p_{i}+\lambda\right\}$ ，
设 $p_{i+1}+\lambda=\frac{2}{5}\left(p_{i}+\lambda\right)$ ，解得 $\lambda=-\frac{1}{3}$ ，则 $p_{i+1}-\frac{1}{3}=\frac{2}{5}\left(p_{i}-\frac{1}{3}\right)$ ，
又 $p_{1}=\frac{1}{2}, p_{1}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ ，所以 $\left\{p_{i}-\frac{1}{3}\right\}$ 是首项为 $\frac{1}{6}$ ，公比为 $\frac{2}{5}$ 的等比数列，
即 $p_{i}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6} \times\left(\frac{2}{5}\right)^{i-1}, p_{i}=\frac{1}{6} \times\left(\frac{2}{5}\right)^{i-1}+\frac{1}{3}$ ．
## 【小问 3 详解】
因为 $p_{i}=\frac{1}{6} \times\left(\frac{2}{5}\right)^{i-1}+\frac{1}{3}, i=1,2, \cdots, n$ ，
所以当 $n \in \mathrm{~N}^{*}$ 时，$E(Y)=p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}=\frac{1}{6} \times \frac{1-\left(\frac{2}{5}\right)^{n}}{1-\frac{2}{5}}+\frac{n}{3}=\frac{5}{18}\left[1-\left(\frac{2}{5}\right)^{n}\right]+\frac{n}{3}$ ，
故 $E(Y)=\frac{5}{18}\left[1-\left(\frac{2}{5}\right)^{n}\right]+\frac{n}{3}$ ．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解．