（20）（本小题满分 13 分） 设函数 f(x)=a l…——2014 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（本小题满分 13 分）
设函数 $f(x)=a \ln x+\frac{x-1}{x+1}$ ，其中 $a$ 为常数．
（I）若 $a=0$ ，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f①)$ 处的切线方程；
（II）讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

【解析】①当 $a=0$ 时 $f(x)=\frac{x-1}{x+1}, f^{\prime}(x)=\frac{2}{(x+1)^{2}}$
$f^{\prime}(1)=\frac{2}{(1+1)^{2}}=\frac{1}{2}$
又 $\because f(1)=0 \therefore$ 直线过点 $(1,0)$
$\therefore y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}$
②$f^{\prime}(x)=\frac{a}{x}+\frac{2}{(x+1)^{2}}(x>0)$
①当 $a=0$ 时，$f^{\prime}(x)=\frac{2}{(x+1)^{2}}$ 恒大于 $0 . f(x)$ 在定义域上单调递增．
②当 $a>0$ 时，$f^{\prime}(x)=\frac{a}{x}+\frac{2}{(x+1)^{2}}=\frac{a(x+1)^{2}+2 x}{x(x+1)^{2}}>0 . f(x)$ 在定义域上单调递增．
③当 $a<0$ 时，$\Delta=(2 a+2)^{2}-4 a^{2}=8 a+4 \leq 0$ ，即 $a \leq-\frac{1}{2}$ ．
开口向下，$f(x)$ 在定义域上单调递减。
当 $-\frac{1}{2}0 . x_{1,2}=\frac{-(2 a+2) \pm \sqrt{8 a+4}}{2 a}=\frac{-a-1 \pm \sqrt{2 a+1}}{a}$
对称轴方程为 $x=-\frac{2 a+2}{2 a}=-1-\frac{1}{a}>0$ ．且 $x_{1} \cdot x_{2}=1>0$
$\therefore f(x)$ 在 $\left(0, \frac{-a-1-\sqrt{2 a+1}}{a}\right)$ 单调递减，$\left(\frac{-a-1-\sqrt{2 a+1}}{a}, \frac{-a-1+\sqrt{2 a+1}}{a}\right)$ 单调递增， $\left(\frac{-a-1+\sqrt{2 a+1}}{a},+\infty\right)$ 单调递减。
综上所述，$a=0$ 时，$f(x)$ 在定义域上单调递增；$a>0$ 时，$f(x)$ 在定义域上单调递增 $a \leq-\frac{1}{2}$ 时，$f(x)$ 在定义域上单调递减；$-\frac{1}{2}