已知公比大于 1 的等比数列 a_ n 满足 a_ 2 +…——2020 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
已知公比大于 1 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{2}+a_{4}=20, a_{3}=8$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $a_{1} a_{2}-a_{2} a_{3}+\ldots+(-1)^{n-1} a_{n} a_{n+1}$ ．

【答案】①$a_{n}=2^{n}$ ；②$\frac{8}{5}-(-1)^{n} \frac{2^{2 n+3}}{5}$

## 【解析】

## 【分析】

①由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
（2）首先求得数列 $\left\{(-1)^{n-1} a_{n} a_{n+1}\right\}$ 的通项公式，然后结合等比数列前 $n$ 项和公式求解其前 $n$ 项和即可。
【详解】①设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q(q>1)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}a_{2}+a_{4}=a_{1} q+a_{1} q^{3}=20 \\ a_{3}=a_{1} q^{2}=8\end{array}\right.$ ，
整理可得： $2 q^{2}-5 q+2=0$ ，
$\because q>1, q=2, a_{1}=2$,

数列的通项公式为：$a_{n}=2 \cdot 2^{n-1}=2^{n}$ ．
②由于：$(-1)^{n-1} a_{n} a_{n+1}=(-1)^{n-1} \times 2^{n} \times 2^{n+1}=(-1)^{n-1} 2^{2 n+1}$ ，故：
$a_{1} a_{2}-a_{2} a_{3}+\ldots+(-1)^{n-1} a_{n} a_{n+1}$
$=2^{3}-2^{5}+2^{7}-2^{9}+\ldots+(-1)^{n-1} \cdot 2^{2 n+1}$
$=\frac{2^{3}\left[1-\left(-2^{2}\right)^{n}\right]}{1-\left(-2^{2}\right)}=\frac{8}{5}-(-1)^{n} \frac{2^{2 n+3}}{5}$ ．
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础。