（12分）（2008•陕西）已知抛物线C： y=2 x^…——2008 高考数学第 21 题答案解析

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】①设A $\left(\mathrm{x}_{1}, 2 \mathrm{x}_{1}{ }^{2}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, 2 \mathrm{x}_{2}{ }^{2}\right)$ ，把直线方程代入抛物线方程消去 y ，根据韦达定理求得 $\mathrm{x}_{1} +x_{2}$ 和 $x_{1} x_{2}$ 的值，进而求得 $N$ 和 $M$ 的横坐标，表示点 $M$ 的坐标，设抛物线在点 $N$ 处的切线 1 的方程将 $y=2 x^{2}$ 代入进而求得 m 和 k 的关系，进而可知 $1 \| \mathrm{AB}$ 。
②假设存在实数 $k$ ，使 $\overrightarrow{\mathrm{NA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{NB}}=0$ 成立，则可知 $N A \perp N B$ ，又依据 $M$ 是 $A B$ 的中点进而可知 $|M N|=\frac{1}{2}|A B|$ ．
根据①中的条件，分别表示出 $|M N|$ 和 $|A B|$ 代入 $|M N|=\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|$ 求得 $k$ 。
【解答】解：（I）如图，设A $\left(\mathrm{x}_{1}, 2 \mathrm{x}_{1}^{2}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, 2 \mathrm{x}_{2}^{2}\right)$ ，
把 $y=k x+2$ 代入 $y=2 x^{2}$ 得 $2 x^{2}-k x-2=0$ ，
由韦达定理得 $x_{1}+x_{2}=\frac{k}{2}, x_{1} x_{2}=-1$ ，
$\therefore x_{N}=x_{M}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{k}{4}, \therefore N$ 点的坐标为 $\left(\frac{k}{4}, \frac{k^{2}}{8}\right)$ ．
设抛物线在点 $N$ 处的切线 1 的方程为 $y-\frac{k^{2}}{8}=m\left(x-\frac{k}{4}\right)$ ，
将 $y=2 x^{2}$ 代入上式得 $2 x^{2}-m x+\frac{m k}{4}-\frac{k^{2}}{8}=0$ ，
∵ 直线 $l$ 与抛物线 C 相切，
$\therefore \Delta=m^{2}-8\left(\frac{m k}{4}-\frac{k^{2}}{8}\right)=m^{2}-2 m k+k^{2}=(m-k)^{2}=0$ ，
$\therefore \mathrm{m}=\mathrm{k}$ ，即 $1 \| \mathrm{AB}$ ．
（II）假设存在实数 k ，使 $\overrightarrow{\mathrm{NA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{NB}}=0$ ，则 $\mathrm{NA} \perp \mathrm{NB}$ ，

又 $\because \mathrm{M}$ 是 AB 的中点，$\therefore|\mathrm{MN}|=\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|$ 。
由（I）知 $y_{M}=\frac{1}{2}\left(y_{1}+y_{2}\right)=\frac{1}{2}\left(k x_{1}+2+k x_{2}+2\right)=\frac{1}{2}\left[k\left(x_{1}+x_{2}\right)+4\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{k^{2}}{2}+4\right)=\frac{k^{2}}{4}+2$ ．
$\because \mathrm{MN} \perp \mathrm{x}$ 轴，
$\therefore|M N|=\left|y_{M}-y_{N}\right|=\frac{k^{2}}{4}+2-\frac{k^{2}}{8}=\frac{k^{2}+16}{8}$ ．
又 $|A B|=\sqrt{1+k^{2}} \cdot\left|x_{1}-x_{2}\right|=\sqrt{1+k^{2}} \cdot \sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=$
$\sqrt{1+k^{2}} \cdot \sqrt{\left(\frac{k}{2}\right)^{2}-4 \times(-1)}=\frac{1}{2} \sqrt{k^{2}+1} \cdot \sqrt{k^{2}+16}$ ．
$\therefore \frac{\mathrm{k}^{2}+16}{8}=\frac{1}{4} \sqrt{\mathrm{k}^{2}+1} \cdot \sqrt{\mathrm{k}^{2}+16}$ ，
解得 $\mathrm{k}= \pm 2$ ．
即存在 $\mathrm{k}= \pm 2$ ，使 $\overrightarrow{\mathrm{NA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{NB}}=0$ ．

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．