2019_新课标 III 卷 (2019·理)
20．已知函数 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+b$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）是否存在 $a, b$ ，使得 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 的最小值为 -1 且最大值为 1 ？若存在，求出 $a, b$的所有值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见详解；②$\left\{\begin{array}{l}a=0 \\ b=-1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=1\end{array}\right.$ ．
## 【解析】
## 【分析】
（1）先求 $f(x)$ 的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；
根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出，$b$ 的值．
【详解】（1）对 $f(x)=2 x^{3}-a x^{2}+b$ 求导得 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-2 a x=6 x\left(x-\frac{a}{3}\right)$ ．所以有当 $a<0$ 时，$\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增，$\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减，$(0,+\infty)$ 区间上单调递增；当 $a=0$ 时，$(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增；
当 $a>0$ 时，$(-\infty, 0)$ 区间上单调递增，$\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减，$\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增．
（2）若 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 有最大值 1 和最小值 -1 ，所以
若 $a<0,\left(-\infty, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递增，$\left(\frac{a}{3}, 0\right)$ 区间上单调递减，$(0,+\infty)$ 区间上单调递增；
此时在区间 $[0,1]$ 上单调递增，所以 $f(0)=-1, f(1)=1$ 代入解得 $b=-1, a=0$ ，与 $a<0$矛盾，所以 $a<0$ 不成立．
若 $a=0,(-\infty,+\infty)$ 区间上单调递增；在区间［ 0,1 ］．所以 $f(0)=-1, f(1)=1$ 代入解得 $\left\{\begin{array}{l}a=0 \\ b=-1\end{array}\right.$ ．
若 $0 即 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减，在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增，所以区间 $[0,1]$ 上最小值为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$而 $f(0)=b, f(1)=2-a+b \geq f(0)$ ，故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(1)$ ． 即 $\left\{\begin{array}{l}\left.2{ }^{\frac{a}{3}}\right) 3-a\left(^{\left.\frac{a}{3}\right) 2}+b=-1\right. \\ 2-a+b=1\end{array}\right.$ 相减得 $2-a+\frac{a^{3}}{27}=2$ ，即 $a(a-3 \sqrt{3})(a+3 \sqrt{3})=0$ ，又因为 $0 若 $2 即 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 单调递减，在区间 $\left(\frac{a}{3}, 1\right)$ 单调递增，所以区间 $[0,1]$ 上最小值为 $f\left(\frac{a}{3}\right)$而 $f(0)=b, f(1)=2-a+b \leq f(0)$ ，故所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$ ． 即 $\left\{\begin{array}{l}2\left(\frac{a}{3}\right) 3 \\ b=1\end{array}-a\left(\frac{a}{3}\right) 2+b=-1\right.$ 相减得 $\frac{a^{3}}{27}=2$ ，解得 $x=3 \sqrt[3]{2}$ ，又因为 $2若 $a>3,(-\infty, 0)$ 区间上单调递增，$\left(0, \frac{a}{3}\right)$ 区间上单调递减，$\left(\frac{a}{3},+\infty\right)$ 区间上单调递增．
所以有 $f(x)$ 区间 $[0,1]$ 上单调递减，所以区间 $[0,1]$ 上最大值为 $f(0)$ ，最小值为 $f(1)$
即 $\left\{\begin{array}{l}b=1 \\ 2-a+b=-1\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=1\end{array}\right.$ ．
综上得 $\left\{\begin{array}{l}a=0 \\ b=-1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=1\end{array}\right.$ ．
【点睛】1）这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少。考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算。思考量不大，由计算量补充。