2016_新课标 I 卷 (2016·理)
19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元 ．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的
同时购买的易损零件数．
（I）求X的分布列；
（II）若要求 $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leq \mathrm{n}) \geq 0.5$ ，确定 n 的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 $n=19$ 与 $n=20$ 之中选其一，应选用哪个？
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：概率与统计．
【分析】（ I ）由已知得X的可能取值为 $16,17,18,19,20,21,22$ ，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（II）由 X 的分布列求出 $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leq 18)=\frac{11}{25}, \mathrm{P}(\mathrm{X} \leq 19)=\frac{17}{25}$ ．由此能确定满足 $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leq \mathrm{n}) ~ \geq 0.5$ 中 n 的最小值．
（III）法一：由X的分布列得 $P(X \leq 19)=\frac{17}{25}$ 。求出买 19 个所需费用期望 $E X_{1}$ 和买
20 个所需费用期望 $\mathrm{EX}_{2}$ ，由此能求出买 19 个更合适。
法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出 $n=19$ 时，费用的期望和当 $n=20$时，费用的期望，从而得到买19个更合适。
【解答】解：（ I ）由已知得X的可能取值为 $16,17,18,19,20,21,22$ ， $P(X=16)=\left(\frac{20}{100}\right)^{2}=\frac{1}{25}$ ，
$P(X=17)=\frac{20}{100} \times \frac{40}{100} \times 2=\frac{4}{25}$ ，
$P(X=18)=\left(\frac{40}{100}\right)^{2}+2\left(\frac{20}{100}\right)^{2}=\frac{6}{25}$,
$P(X=19)=2 \times \frac{40}{100} \times \frac{20}{100}+2 \times\left(\frac{20}{100}\right)^{2}=\frac{6}{25}$ ，
$P(X=20)=\left(\frac{20}{100}\right)^{2}+2 \times \frac{40}{100} \times \frac{20}{100}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$ ，
$P(X=21)=2 \times\left(\frac{20}{100}\right)^{2}=\frac{2}{25}$ ，
$P(X=22)=\left(\frac{20}{100}\right)^{2}=\frac{1}{25}$ ，
$\therefore \mathrm{X}$ 的分布列为：
| X | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P | $\frac{1}{25}$ | $\frac{4}{25}$ | $\frac{6}{25}$ | $\frac{6}{25}$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{2}{25}$ | $\frac{1}{25}$ |
（II）由（I）知：
$P(X \leq 18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)$
$=\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+\frac{6}{25}=\frac{11}{25}$ ．
$P(X \leq 19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19)$
$=\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+\frac{6}{25}+\frac{6}{25}=\frac{17}{25}$ ．
$\therefore \mathrm{P}(\mathrm{X} \leq \mathrm{n}) \geq 0.5$ 中， n 的最小值为19．
（III）解法一：由（I）得 $P(X \leq 19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X$ ＝19）
$=\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+\frac{6}{25}+\frac{6}{25}=\frac{17}{25}$ ．
买19个所需费用期望：
$\mathrm{EX}_{1}=200 \times 19 \times \frac{17}{25}+(200 \times 19+500) \times \frac{5}{25}+(200 \times 19+500 \times 2) \times \frac{2}{25}+(200 \times 19+500$
$\times 3) \times \frac{1}{25}=4040$,
买 20 个所需费用期望：
$\mathrm{EX}_{2}=200 \times 20 \times \frac{22}{25}+(200 \times 20+500) \times \frac{2}{25}+(200 \times 20+2 \times 500) \times \frac{1}{25}=4080$ ，
$\because \mathrm{EX}_{1}<\mathrm{EX}_{2}$,
∴ 买19个更合适。
解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，
另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当 $\mathrm{n}=19$ 时，费用的期望为： $19 \times 200+500 \times 0.2+1000 \times 0.08+1500 \times 0.04=4040$ ，
当 $\mathrm{n}=20$ 时，费用的期望为： $20 \times 200+500 \times 0.08+1000 \times 0.04=4080$ ，
∴ 买19个更合适。
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．