【答案】①$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1$
（2）存在 $T(0, t)\left(-3 \leq t \leq \frac{3}{2}\right)$ ，使得 $\overrightarrow{T P} \cdot \overrightarrow{T Q} \leq 0$ 恒成立．
## 【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程。
（2）设该直线方程为：$y=k x-\frac{3}{2}, P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right), T(0, t)$ ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用 $k, t$ 表示 $\overrightarrow{T P} \cdot \overrightarrow{T Q}$ ，再根据 $\overrightarrow{T P} \cdot \overrightarrow{T Q} \leq 0$ 可求 $t$ 的范围．
## 【小问 1 详解】
因为椭圆的离心率为 $e=\frac{1}{2}$ ，故 $a=2 c, b=\sqrt{3} c$ ，其中 $c$ 为半焦距，
所以 $A(-2 c, 0), B(0,-\sqrt{3} c), C\left(0,-\frac{\sqrt{3} c}{2}\right)$ ，故 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times 2 c \times \frac{\sqrt{3}}{2} c=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，
故 $c=\sqrt{3}$ ，所以 $a=2 \sqrt{3}, b=3$ ，故椭圆方程为：$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ．
## 【小问 2 详解】
若过点 $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：$y=k x-\frac{3}{2}$ ，
设 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right), T(0, t)$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}3 x^{2}+4 y^{2}=36 \\ y=k x-\frac{3}{2}\end{array}\right.$ 可得 $\left(3+4 k^{2}\right) x^{2}-12 k x-27=0$ ，
故 $\Delta=144 k^{2}+108\left(3+4 k^{2}\right)=324+576 k^{2}>0$ 且 $x_{1}+x_{2}=\frac{12 k}{3+4 k^{2}}, x_{1} x_{2}=-\frac{27}{3+4 k^{2}}$ ，
而 $\overrightarrow{T P}=\left(x_{1}, y_{1}-t\right), \overrightarrow{T Q}=\left(x_{2}, y_{2}-t\right)$ ，
故 $\overrightarrow{T P} \cdot \overrightarrow{T Q}=x_{1} x_{2}+\left(y_{1}-t\right)\left(y_{2}-t\right)=x_{1} x_{2}+\left(k x_{1}-\frac{3}{2}-t\right)\left(k x_{2}-\frac{3}{2}-t\right)$
$=\left(1+k^{2}\right) x_{1} x_{2}-k\left(\frac{3}{2}+t\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)+\left(\frac{3}{2}+t\right)^{2}$
$=\left(1+k^{2}\right) \times\left(-\frac{27}{3+4 k^{2}}\right)-k\left(\frac{3}{2}+t\right) \times \frac{12 k}{3+4 k^{2}}+\left(\frac{3}{2}+t\right)^{2}$
$=\frac{-27 k^{2}-27-18 k^{2}-12 k^{2} t+3\left(\frac{3}{2}+t\right)^{2}+(3+2 t)^{2} k^{2}}{3+4 k^{2}}$
$=\frac{\left[(3+2 t)^{2}-12 t-45\right] k^{2}+3\left(\frac{3}{2}+t\right)^{2}-27}{3+4 k^{2}}$,
因为 $\overrightarrow{T P} \cdot \overrightarrow{T Q} \leq 0$ 恒成立，故 $\left\{\begin{array}{l}(3+2 t)^{2}-12 t-45 \leq 0 \\ 3\left(\frac{3}{2}+t\right)^{2}-27 \leq 0\end{array}\right.$ ，解得 $-3 \leq t \leq \frac{3}{2}$ ．
若过点 $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ 的动直线的斜率不存在，则 $P(0,3), Q(0,-3)$ 或 $P(0,-3), Q(0,3)$ ，
此时需 $-3 \leq t \leq 3$ ，两者结合可得 $-3 \leq t \leq \frac{3}{2}$ ．
综上，存在 $T(0, t)\left(-3 \leq t \leq \frac{3}{2}\right)$ ，使得 $\overrightarrow{T P} \cdot \overrightarrow{T Q} \leq 0$ 恒成立．
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设。