（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系 x O…——2015 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（16分）
考点 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

专题 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
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分析（1）运用离心率公式和准线方程，可得 $a$ ，$c$ 的方程，解得 $a, c$ ，再由 $a, b, c$ 的关系 ：，可得 b ，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线 AB 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程。
解答 解：（1）由题意可得， $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
且 $c+\frac{a^{2}}{c}=3$ ，解得 $c=1, a=\sqrt{2}$ ，
则 $\mathrm{b}=1$ ，即有椭圆方程为 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ ；

（2）当 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{x}$ 轴， $\mathrm{AB}=\sqrt{2}, ~ \mathrm{CP}=3$ ，不合题意；
当 $A B$ 与 $x$ 轴不垂直，设直线 $A B: ~ y=k(x-1), A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，将 $A B$ 方程代入椭圆方程可得 $\left(1+2 k^{2}\right) x^{2}-4 k^{2} x+2\left(k^{2}-1\right)=0$ ，
则 $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=\frac{4 \mathrm{k}^{2}}{1+2 \mathrm{k}^{2}}, \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=\frac{2\left(\mathrm{k}^{2}-1\right)}{1+2 \mathrm{k}^{2}}$ ，
则 $C\left(\frac{2 k^{2}}{1+2 k^{2}}, \frac{-k}{1+2 k^{2}}\right)$ ，且 $|A B|=\sqrt{1+k^{2}} \cdot \sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=$
$\frac{2 \sqrt{2}\left(1+\mathrm{k}^{2}\right)}{1+2 \mathrm{k}^{2}}$,
若 $\mathrm{k}=0$ ，则 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意；
则 $\mathrm{k} \neq 0$ ，故PC： $\mathrm{y}+\frac{\mathrm{k}}{1+2 \mathrm{k}^{2}}=-\frac{1}{\mathrm{k}}\left(\mathrm{x}-\frac{2 \mathrm{k}^{2}}{1+2 \mathrm{k}^{2}}\right), \mathrm{P}\left(-2, \frac{2+5 \mathrm{k}^{2}}{\mathrm{k}\left(1+2 \mathrm{k}^{2}\right)}\right)$ ，
从而 $|\mathrm{PC}|=\frac{2\left(3 k^{2}+1\right) \sqrt{1+k^{2}}}{|k|\left(1+2 k^{2}\right)}$ ，
由 $|\mathrm{PC}|=2|\mathrm{AB}|$ ，可得 $\frac{2\left(3 \mathrm{k}^{2}+1\right) \sqrt{1+\mathrm{k}^{2}}}{|\mathrm{k}|\left(1+2 \mathrm{k}^{2}\right)}=\frac{4 \sqrt{2}\left(1+\mathrm{k}^{2}\right)}{1+2 \mathrm{k}^{2}}$ ，解得 $\mathrm{k}= \pm 1$ ，
此时 $A B$ 的方程为 $y=x-1$ 或 $y=-x+1$ ．
点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程
：，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．