2008_北京卷 (2008·文)
（20）（本小题共 13 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=\left(n^{2}+n-\lambda\right) a_{n}(n=1,2, \ldots \ldots), \lambda$ 是常数．
（I）当 $a_{2}=-1$ 时，求 $\lambda$ 及 $a_{3}$ 的值；
（II）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由 ；
（III）求 $\lambda$ 的取值范围，使得存在正整数 $m$ ，当 $n>m$ 时总有 $a_{\mathrm{n}}<0$ ．
## 2008年普通高等学校招生全国统一考试
【解答】
（共13分）
解：（I）由于 $a_{n+1}=\left(n^{2}+n-\lambda\right) a_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，且 $a_{1}=1$ ，
所以当 $a_{2}=-1$ 时，得 $-1=2-\lambda$ ，
故 $\lambda=3$ ．
从而 $a_{3}=\left(2^{2}+2-3\right) \times(-1)=-3$ ．
（II）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 不可能为等差数列．证明如下：
由 $a_{1}=1, a_{n+1}=\left(n^{2}+n-\lambda\right) a_{n}$ 得
$$ a_{2}=2-\lambda, a_{3}=(6-\lambda)(2-\lambda), a_{4}=(12-\lambda)(6-\lambda)(2-\lambda) . $$
若存在 $\lambda$ ，使 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，则 $a_{3}-a_{2}=a_{2}-a_{1}$ ，即
$$ (5-\lambda)(2-\lambda)=1-\lambda $$
解得 $\lambda=3$ ．
于是 $a_{2}-a_{1}=1-\lambda=-2, a_{4}-a_{3}=(11-\lambda)(6-\lambda)(2-\lambda)=-24$ ．
这与 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列矛盾，所以，对任意 $\lambda,\left\{a_{n}\right\}$ 都不可能是等差数列．
（III）记 $b_{n}=n^{2}+n-\lambda(n=1,2, \cdots)$ ，根据题意可知，$b_{1}<0$ 且 $b_{n} \neq 0$ ，即 $\lambda>2$ 且 $\lambda \neq n^{2}+n\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，这时总存在 $n_{0} \in \mathbf{N}^{*}$ ，满足：当 $n \geqslant n_{0}$ 时，$b_{n}>0$ ；当 $n \leqslant n_{0}-$ 1 时，$b_{n}<0$ ．
所以由 $a_{n+1}=b_{n} a_{n}$ 及 $a_{1}=1>0$ 可知，若 $n_{0}$ 为偶数，则 $a_{n_{0}}<0$ ，从而当 $n>n_{0}$时 $a_{n}<0$ ；若 $n_{0}$ 为奇数，则 $a_{n_{0}}>0$ ，从而当 $n>n_{0}$ 时 $a_{n}>0$ ．
因此＂存在 $m \in \mathbf{N}^{*}$ ，当 $n>m$ 时总有 $a_{n}<0$＂的充分必要条件是：$n_{\mathrm{o}}$ 为偶数，记 $n_{0}=2 k(k=1,2, \cdots)$ ，则 $\lambda$ 满足
$$ \left\{\begin{array}{c} b_{2 k}=(2 k)^{2}+2 k-\lambda>0, \\ b_{2 k-1}=(2 k-1)^{2}+2 k-1-\lambda<0 . \end{array}\right. $$
故 $\lambda$ 的取值范围是 $4 k^{2}-2 k<\lambda<4 k^{2}+2 k\left(k \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ．