（23）【2014年上海，文23，18分】已知数列 a_…——2014 高考数学第 23 题答案解析

解：（1）依题意，$\frac{1}{3} a_{2} \leq a_{3} \leq 3 a_{2}, \therefore \frac{2}{3} \leq x \leq 6$ ，又 $\frac{1}{3} a_{3} \leq a_{4} \leq 3 a_{3}, \therefore 3 \leq x \leq 27$ ，综上可得 $3 \leq x \leq 6$ ．
②设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ．由 $\frac{1}{3} a_{n}, 3 a_{n}$ ，且 $a_{n}=a_{1} q^{n-1} \neq 0$ ，得 $a_{n}>0$ ．因为 $\frac{1}{3} a_{n}, a_{n+1}, 3 a_{n}$ ，所以 $\frac{1}{3}, q_{,} 3$ ．

从而 $\frac{1}{1000}=a_{1} q^{m-1}=q^{m-1} \ldots\left(\frac{1}{3}\right)^{m-1}, 3^{m-1} \ldots 1000$ ，解得 $m \ldots 8 . ~ m=8$ 时， $q=\sqrt[7]{\frac{1}{1000}} \in\left[\frac{1}{3}, 3\right]$.

所以，$m$ 的最小值为 $8, m=8$ 时，$\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $\frac{\sqrt[7]{10^{4}}}{10}$ ．
．．．．．． 9 分
③设数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{100}$ 的公差为 $d$ 。则 $\frac{1}{3} a_{n}, a_{n}+d_{n}, 3 a_{n},-\frac{2}{3} a_{n}, d_{n}, \mathbf{a}_{n}, n=1,2, \cdots, 99$ ，
①当 $d>0$ 时，$a_{99}>a_{98}>\cdots>a_{2}>a_{1}$ ，所以 $0②当 $d=0$ 时，$a_{99}=a_{98}=\cdots=a_{2}=a_{1}$ ，符合条件．
（3）当 $d<0$ 时，$a_{99}$-\frac{2}{3}(1+98 d)_{,,} d_{,} 2(1+98 d)$ ，又 $d<0$ ，
所以 $-\frac{2}{199}, d<0$ ．
综上，$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{100}$ 的公差的取值范围为 $\left[-\frac{2}{199}, 2\right]$ ．