已知函数 f(x)=x^ 3 -k x+k^ 2 ． （1…——2020 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（1）详见解析；（2）$\left(0, \frac{4}{27}\right)$ ．

【解析】

【分析】
（1）$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-k$ ，对 $k$ 分 $k \leq 0$ 和 $k>0$ 两种情况讨论即可；
②$f(x)$ 有三个零点，由①知 $k>0$ ，且 $\left\{\begin{array}{l}f\left(-\sqrt{\frac{k}{3}}\right)>0 \\ f\left(\sqrt{\frac{k}{3}}\right)<0\end{array}\right.$ ，解不等式组得到 $k$ 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可．

【详解】①由题，$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-k$ ，
当 $k \leq 0$ 时，$f^{\prime}(x) \geq 0$ 恒成立，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增；
当 $k>0$ 时，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，得 $x= \pm \sqrt{\frac{k}{3}}$ ，令 $f^{\prime}(x)<0$ ，得 $-\sqrt{\frac{k}{3}}<x<\sqrt{\frac{k}{3}}$ ，
令 $f^{\prime}(x)>0$ ，得 $x<-\sqrt{\frac{k}{3}}$ 或 $x>\sqrt{\frac{k}{3}}$ ，所以 $f(x)$ 在 $\left(-\sqrt{\frac{k}{3}}, \sqrt{\frac{k}{3}}\right)$ 上单调递减，在
$\left(-\infty,-\sqrt{\frac{k}{3}}\right),\left(\sqrt{\frac{k}{3}},+\infty\right)$ 上单调递增．
（2）由①知，$f(x)$ 有三个零点，则 $k>0$ ，且 $\left\{\begin{array}{l}f\left(-\sqrt{\frac{k}{3}}\right)>0 \\ f\left(\sqrt{\frac{k}{3}}\right)<0\end{array}\right.$
即 $\left\{\begin{array}{l}k^{2}+\frac{2}{3} k \sqrt{\frac{k}{3}}>0 \\ k^{2}-\frac{2}{3} k \sqrt{\frac{k}{3}}<0\end{array}\right.$ ，解得 $0<k<\frac{4}{27}$ ，
当 $0<k<\frac{4}{27}$ 时，$\sqrt{k}>\sqrt{\frac{k}{3}}$ ，且 $f(\sqrt{k})=k^{2}>0$ ，

所以 $f(x)$ 在 $\left(\sqrt{\frac{k}{3}}, \sqrt{k}\right)$ 上有唯一一个零点，
同理 $-k-1<-\sqrt{\frac{k}{3}}, f(-k-1)=-k^{3}-(k+1)^{2}<0$ ，
所以 $f(x)$ 在 $\left(-k-1,-\sqrt{\frac{k}{3}}\right)$ 上有唯一一个零点，
又 $f(x)$ 在 $\left(-\sqrt{\frac{k}{3}}, \sqrt{\frac{k}{3}}\right)$ 上有唯一一个零点，所以 $f(x)$ 有三个零点，
综上可知 $k$ 的取值范围为 $\left(0, \frac{4}{27}\right)$ ．
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题．