2015_退役省自主命题 (2015·文)
19、（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
已知函数 $f(x)=a x^{3}+x^{2} \quad(a \in R)$ 在 $\mathrm{x}=-\frac{4}{3}$ 处取得极值．
（I）确定 $a$ 的值；
（II）若 $g(x)=f(x) e^{x}$ ，讨论的单调性．
【答案】（I）$a=\frac{1}{2}$ ；（II） $\mathrm{g}(x)$ 在 $(-¥ \neq,-4)$ 和 $(-1,0)$ 内为减函数，$(-4,-1)$ 和 $(0,+¥)$ 内为增函数．．
【解析】
试题分析：（I）先求出函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 x$ ，由已知有 $f^{\prime}\left(-\frac{4}{3}\right)=0$ 可得关于 $a$ 的一个一元方程，解之即得 $a$ 的值；
（II）由（I ）的结果可得函数 $\mathrm{g}(x)=\left(\frac{1}{2} x^{3}+x^{2}\right) e^{x}$ ，利用积的求导法则可求出 $\mathrm{g}^{\prime}(x)=\frac{1}{2} x(x+1)(x+4) e^{x}$ ，令 $\mathrm{g} \phi(x)=0$ ，解得 $x=0, x=-1$ 或 $x=-4$ 。从而分别讨论 $x<-4,-4
试题解析：①对 $f(x)$ 求导得 $f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 x$
因为 $f(x)$ 在 $x=-\frac{4}{3}$ 处取得极值，所以 $f^{\prime}\left(-\frac{4}{3}\right)=0$ ，
即 $3 a \times \frac{16}{9}+2 \times\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{16 a}{3}-\frac{8}{3}=0$ ，解得 $a=\frac{1}{2}$ ．
②由①得， $\mathrm{g}(x)=\left(\frac{1}{2} x^{3}+x^{2}\right) e^{x}$ ，
故 $\operatorname{g}^{\prime}(x)=\left(\frac{3}{2} x^{2}+2 x\right) e^{x}+\left(\frac{1}{2} x^{3}+x^{2}\right) e^{x}=\left(\frac{1}{2} x^{3}+\frac{5}{2} x^{2}+2 x\right) e^{x}=\frac{1}{2} x(x+1)(x+4) e^{x}$
今 $\mathrm{g}^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x=0, x=-1$ 或 $x=-4$ ．
当 $x<-4$ 时， $\mathrm{g}^{\prime}(x)<0$ ，故 $\mathrm{g}(x)$ 为减函数；
当 $-4
当 $-1 当 $x>0$ 时， $\mathrm{g}^{\prime}(x)>0$ ，故 $\mathrm{g}(x)$ 为增函数； 综上知 $\mathrm{g}(x)$ 在 $(-\infty,-4)$ 和 $(-1,0)$ 内为减函数，$(-4,-1)$ 和 $(0,+\infty)$ 内为增函数．
【考点定位】1．导数与极值；2．导数与单调性．
【名师点睛】本题考查函数导数的概念和运算，运用导数研究函数的单调性及导数与函数极值之间的关系，利用函数的极值点必是导数为零的点，使导函数大于零的 x 的区间函数必增，小于零的区间函数必减进行求解，本题属于中档题，注意求导的准确性及使导函数大于零或小于零的 x 的区间的确定