2009 全国高考数学 2009_旧全国 I 卷 (2009·文) 第 20 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6 ，乙获胜的概率为 0.4 ，各局比赛结果相互独立．已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局．
（I）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；
（II）求甲获得这次比赛胜利的概率．

Accepted Answer

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式． 【专题】12：应用题． 【分析】根据题意，记＂第 $\mathbf{i}$ 局甲获胜＂为事件 $\mathrm{A}_{\mathrm{i}}(\mathrm{i}=3,4,5)$ ，＂第 $\mathbf{j}$ 局甲获胜＂为事件 $\mathrm{B}_{\mathrm{i}}(\mathrm{j}=3,4,5)$ ， ①＂再赛 2 局结束这次比赛＂包含＂甲连胜 3 、 4 局＂与＂连胜 3 、 4 局＂两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案， ②若＂甲获得这次比赛胜利＂，即甲在后 3 局中，甲胜 2 局，包括 3 种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案。 【解答】解：记＂第 i 局甲获胜＂为事件 $\mathrm{A}_{\mathrm{i}}(\mathrm{i}=3,4,5)$ ， ＂第 j 局甲获胜＂为事件 $\mathrm{B}_{\mathrm{i}} ~(\mathrm{j}=3, ~ 4, ~ 5)$ ． （I）设＂再赛2局结束这次比赛＂为事件 $A$ ，则 $A=A_{3} \bullet A_{4}+B_{3} \bullet B_{4}$ ， 由于各局比赛结果相互独立， 故 $\mathrm{P}(\mathrm{A})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{3} \bullet \mathrm{~A}_{4}+\mathrm{B}_{3} \bullet \mathrm{~B}_{4}ight)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{3} \bullet \mathrm{~A}_{4}ight)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{3} \bullet \mathrm{~B}_{4}ight)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{3}ight) \mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{4}ight)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{3}ight) \mathrm{P} \left(B_{4}ight)=0.6 	imes 0.6+0.4 	imes 0.4=0.52$ ． （II）记＂甲获得这次比赛胜利＂为事件 H ， 因前两局中，甲、乙各胜 1 局， 故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中， 甲先胜 2 局，从而 $\mathrm{B}=\mathrm{A}_{3} \bullet \mathrm{~A}_{4}+\mathrm{B}_{3} \bullet \mathrm{~A}_{4} \bullet \mathrm{~A}_{5}+\mathrm{A}_{3} \bullet \mathrm…

2009 高考数学第 20 题答案解析

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