2009 全国高考数学 2009_旧全国 II 卷 (2009·理) 第 21 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

21．（12分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 C 相交于 A 、 B 两点，当 I 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 I 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， （I）求 a ， b 的值；
（II） C 上是否存在点 P ，使得当绕 F 转到某一位置时，有 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 成立？若存

在，求出所有的 P 的坐标与 $l$ 的方程；若不存在，说明理由．

Accepted Answer

【考点】K4：椭圆的性质． 【专题】15：综合题；16：压轴题． 【分析】①设 $F(c, 0)$ ，则直线 $l$ 的方程为 $x-y-c=0$ ，由坐标原点 $O$ 到 $I$ 的距离求得 c ，进而根据离心率求得 a 和 b ． （II）由（I）可得椭圆的方程，设 $A\left(x_{1}, y_{1}ight) 、 B\left(x_{2}, y_{2}ight)$ ，I：$x=m y+1$ 代入椭圆的方程中整理得方程 $	riangle>0$ 。由韦达定理可求得 $y_{1}+y_{2}$ 和 $y_{1} y_{2}$ 的表达式，假设存在点 P ，使 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 成立，则其充要条件为：点 P 的坐标为 $\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{1}+ight. \mathrm{y}_{2}$ ），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得 P 点坐标，求出 m 的值得出直线 $l$ 的方程． 【解答】解：（1）设 $F(c, 0)$ ，直线 $\mid: x-y-c=0$ ， 由坐标原点 O 到 1 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 则 $\frac{|0-0-\mathrm{c}|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，解得 $\mathrm{c}=1$ 又 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}, 	herefore a=\sqrt{3}, b=\sqrt{2}$ （II）由（I）知椭圆的方程为C：$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 设 $A\left(x_{1}, y_{1}ight) 、 B\left(x_{2}, y_{2}ight)$ 由题意知I的斜率为一定不为 0 ，故不妨设 $\mathrm{l}: \mathrm{x}=\mathrm{my}+1$ 代入椭圆的方程中整理得 $\left(2 m^{2}+3ight) y^{2}+4 m y-4=0$ ，显然 $	riangle>0$ ． 由韦达定理有：$y_{1}+y_{2}=-\frac{4 m}{2 m^{2}+3}, y_{1} y_{2}=-\frac{4}{2 m^{2}+3}$ ，① 假设存在点 P ，使 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 成…

2009 高考数学第 21 题答案解析

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