2009_旧全国 II 卷 (2009·理)
21．（12分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 C 相交于 A 、 B 两点，当 I 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 I 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， （I）求 a ， b 的值；
（II） C 上是否存在点 P ，使得当绕 F 转到某一位置时，有 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 成立？若存
在，求出所有的 P 的坐标与 $l$ 的方程；若不存在，说明理由．
【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】①设 $F(c, 0)$ ，则直线 $l$ 的方程为 $x-y-c=0$ ，由坐标原点 $O$ 到 $I$ 的距离求得 c ，进而根据离心率求得 a 和 b ．
（II）由（I）可得椭圆的方程，设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right) , B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，I：$x=m y+1$ 代入椭圆的方程中整理得方程 $\triangle>0$ 。由韦达定理可求得 $y_{1}+y_{2}$ 和 $y_{1} y_{2}$ 的表达式，假设存在点 P ，使 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 成立，则其充要条件为：点 P 的坐标为 $\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{1}+\right. \mathrm{y}_{2}$ ），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得 P 点坐标，求出 m 的值得出直线 $l$ 的方程．
【解答】解：（1）设 $F(c, 0)$ ，直线 $\mid: x-y-c=0$ ，
由坐标原点 O 到 1 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
则 $\frac{|0-0-\mathrm{c}|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，解得 $\mathrm{c}=1$
又 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore a=\sqrt{3}, b=\sqrt{2}$
（II）由（I）知椭圆的方程为C：$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right) , B\left(x_{2}, y_{2}\right)$
由题意知I的斜率为一定不为 0 ，故不妨设 $\mathrm{l}: \mathrm{x}=\mathrm{my}+1$
代入椭圆的方程中整理得 $\left(2 m^{2}+3\right) y^{2}+4 m y-4=0$ ，显然 $\triangle>0$ ．
由韦达定理有：$y_{1}+y_{2}=-\frac{4 m}{2 m^{2}+3}, y_{1} y_{2}=-\frac{4}{2 m^{2}+3}$ ，①
假设存在点 P ，使 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 成立，则其充要条件为：
点 P 的坐标为 $\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}\right)$ ，
点P在椭圆上，即 $\frac{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}}{3}+\frac{\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}}{2}=1$ ．
整理得 $2 x_{1}{ }^{2}+3 y_{1}{ }^{2}+2 x_{2}{ }^{2}+3 y_{2}{ }^{2}+4 x_{1} x_{2}+6 y_{1} y_{2}=6$ ．
又 $A , B$ 在椭圆上，即 $2 x_{1}{ }^{2}+3 y_{1}{ }^{2}=6, ~ 2 x_{2}{ }^{2}+3 y_{2}{ }^{2}=6$ 、
故 $2 x_{1} x_{2}+3 y_{1} y_{2}+3=0$②
将 $x_{1} x_{2}=\left(m y_{1}+1\right)\left(m y_{2}+1\right)=m^{2} y_{1} y_{2}+m\left(y_{1}+y_{2}\right)+1$ 及①代入②解得 $m^{2}=\frac{1}{2}$
$\therefore y_{1}+y_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
$x_{1}+x_{2}=-\frac{4 m^{2}}{2 m^{2}+3}+2=\frac{3}{2}$ ，即 $\mathrm{P}\left(\frac{3}{2}, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
当 $\pi=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right), l: x=\frac{\sqrt{2}}{2} y+1$ ；
当 $\mathrm{m}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right), 1: x=-\frac{\sqrt{2}}{2} y+1$
【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在＂算＂上的功夫不够。所谓＂算＂，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。