（12分）已知椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^ 2…——2009 高考数学第 22 题答案解析

由题意知 $I$ 的斜率为一定不为 0 ，故不妨设 $I: x=m y+1$
代入椭圆的方程中整理得 $\left(2 m^{2}+3\right) y^{2}+4 m y-4=0$ ，显然 $\triangle>0$ ．
由韦达定理有：$y_{1}+y_{2}=-\frac{4 m}{2 m^{2}+3}, \quad y_{1} y_{2}=-\frac{4}{2 m^{2}+3}$ ，

假设存在点 P ，使 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 成立，则其充要条件为：
点 P 的坐标为 $\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}\right)$ ，
点 P 在椭圆上，即 $\frac{\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}\right)^{2}}{3}+\frac{\left(\mathrm{y}_{1}+\mathrm{y}_{2}\right)^{2}}{2}=1$ ．
整理得 $2 x_{1}{ }^{2}+3 y_{1}{ }^{2}+2 x_{2}{ }^{2}+3 y_{2}{ }^{2}+4 x_{1} x_{2}+6 y_{1} y_{2}=6$ ．
又 $A , B$ 在椭圆上，即 $2 x_{1}{ }^{2}+3 y_{1}{ }^{2}=6, ~ 2 x_{2}{ }^{2}+3 y_{2}{ }^{2}=6$ 、
故 $2 x_{1} x_{2}+3 y_{1} y_{2}+3=0$（2）
将 $x_{1} x_{2}=\left(m y_{1}+1\right)\left(m y_{2}+1\right)=m^{2} y_{1} y_{2}+m\left(y_{1}+y_{2}\right)+1$ 及①代入（2）解得 $m^{2}=\frac{1}{2}$
$\therefore y_{1}+y_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
$x_{1}+x_{2}=-\frac{4 m^{2}}{2 m^{2}+3}+2=\frac{3}{2}$ ，即 $\mathrm{P}\left(\frac{3}{2}, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

当 $\mathrm{Ir}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$P\left(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right), l: x=\frac{\sqrt{2}}{2} y+1$ ；
当 $m=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$P\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right), l: x=-\frac{\sqrt{2}}{2} y+1$
【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在＂算＂上的功夫不够。所谓＂算＂，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。