2021_北京卷 (2021)
20．已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $A(0,-2)$ ，以四个顶点围成的四边形面积为 $4 \sqrt{5}$ ．
（1）求椭圆 $E$ 的标准方程；
（2）过点 $P(0,-3)$ 的直线 $l$ 斜率为 $k$ ，交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B, C$ ，直线 $A B, A C$ 交 $y=-$ 3于点 $M , N$ ，直线 $A C$ 交 $y=-3$ 于点 $N$ ，若 $|P M|+|P N| \leqslant 15$ ，求 $k$ 的取值范围．
【答案】①$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ；②$[-3,-1) \cup(1,3]$ ．
## 【解析】
【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求 $a, b$ ，从而可求椭圆的标准方程．
（2）设 $B\left(x_{1}, y_{1}\right), C\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，求出直线 $A B, A C$ 的方程后可得 $M, N$ 的横坐标，从而可得 $|P M|+|P N|$ ，联立直线 $B C$ 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简 $|P M|+|P N|$ ，从而可求 $k$ 的范围，注意判别式的要求。
【详解】（1）因为椭圆过 $A(0,-2)$ ，故 $b=2$ ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 $4 \sqrt{5}$ ，故 $\frac{1}{2} \times 2 a \times 2 b=4 \sqrt{5}$ ，即 $a=\sqrt{5}$ ，
故椭圆的标准方程为：$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ．
（2）
设 $B\left(x_{1}, y_{1}\right), C\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
因为直线 $B C$ 的斜率存在，故 $x_{1} x_{2} \neq 0$ ，
故直线 $A B: y=\frac{y_{1}+2}{x_{1}} x-2$ ，令 $y=-3$ ，则 $x_{M}=-\frac{x_{1}}{y_{1}+2}$ ，同理 $x_{N}=-\frac{x_{2}}{y_{2}+2}$ ．
直线 $B C: y=k x-3$ ，由 $\left\{\begin{array}{l}y=k x-3 \\ 4 x^{2}+5 y^{2}=20\end{array}\right.$ 可得 $\left(4+5 k^{2}\right) x^{2}-30 k x+25=0$ ，
故 $\Delta=900 k^{2}-100\left(4+5 k^{2}\right)>0$ ，解得 $k<-1$ 或 $k>1$ ．
又 $x_{1}+x_{2}=\frac{30 k}{4+5 k^{2}}, x_{1} x_{2}=\frac{25}{4+5 k^{2}}$ ，故 $x_{1} x_{2}>0$ ，所以 $x_{M} x_{N}>0$
又 $|P M|+|P N|=\left|x_{M}+x_{N}\right|=\left|\frac{x_{1}}{y_{1}+2}+\frac{x_{2}}{y_{2}+2}\right|$
$=\left|\frac{x_{1}}{k x_{1}-1}+\frac{x_{2}}{k x_{2}-1}\right|=\left|\frac{2 k x_{1} x_{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)}{k^{2} x_{1} x_{2}-k\left(x_{1}+x_{2}\right)+1}\right|=\left|\frac{\frac{50 k}{4+5 k^{2}}-\frac{30 k}{4+5 k^{2}}}{\frac{25 k^{2}}{4+5 k^{2}}-\frac{30 k^{2}}{4+5 k^{2}}+1}\right|=5|k|$
故 $5|k| \leq 15$ 即 $|k| \leq 3$ ，
综上，$-3 \leq k<-1$ 或 $1