（15 分）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴…——2018 高考数学第 21 题答案解析

【考点】 KL ：直线与椭圆的综合； KN ：直线与抛物线的综合．
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）设 $P(m, n), A\left(\frac{y_{1}{ }^{2}}{4}, y_{1}\right), B\left(\frac{y_{2}{ }^{2}}{4}, y_{2}\right)$ ，运用中点坐标公式可得 M 的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得 $\mathrm{y}_{1}$ ， $y_{2}$ 为关于 $y$ 的方程 $y^{2}-2 n y+8 m-n^{2}=0$ 的两根，由韦达定理即可得到结论；
（II）由题意可得 $m^{2}+\frac{n^{2}}{4}=1,-1 \leqslant m<0,-2

【解答】解：（I）证明：可设 $\mathrm{P}(\mathrm{m}, \mathrm{n}), \mathrm{A}\left(\frac{\mathrm{y}_{1}{ }^{2}}{4}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{B}\left(\frac{\mathrm{y}_{2}{ }^{2}}{4}, \mathrm{y}_{2}\right)$ ，

$A B$ 中点为 $M$ 的坐标为 $\left(\frac{y_{1}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}}{8}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ ，
抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 上存在不同的两点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 满足 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ 的中点均在 C 上，
可得 $\left(\frac{n+y_{1}}{2}\right)^{2}=4 \cdot \frac{\pi+\frac{y_{1}^{2}}{4}}{2}$ ，
$\left(\frac{\mathrm{n}+\mathrm{y}_{2}}{2}\right)^{2}=4 \cdot \frac{\pi+\frac{1}{4} \mathrm{y}_{2}{ }^{2}}{2}$,
化简可得 $y_{1}, y_{2}$ 为关于 $y$ 的方程 $y^{2}-2 n y+8 m-n^{2}=0$ 的两根，
可得 $y_{1}+y_{2}=2 n, \quad y_{1} y_{2}=8 m-n^{2}$ ，
可得 $n=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$ ，
则 PM 垂直于 $y$ 轴；
（II）若 P 是半椭圆 $\mathrm{x}^{2}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1 \quad(\mathrm{x}<0)$ 上的动点，
可得 $m^{2}+\frac{n^{2}}{4}=1, \quad-1 \leqslant m<0, \quad-2由（I）可得 $y_{1}+y_{2}=2 n, y_{1} y_{2}=8 m-n^{2}$ ，
由 $P M$ 垂直于 $y$ 轴，可得 $\triangle P A B$ 面积为 $S=\frac{1}{2}|P M| \bullet\left|y_{1}-y_{2}\right|$
$=\frac{1}{2}\left(\frac{y_{1}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}}{8}-m\right) \cdot \sqrt{\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}-4 y_{1} y_{2}}$
$=\left[\frac{1}{16} \cdot\left(4 n^{2}-16 m+2 n^{2}\right)-\frac{1}{2} m\right] \cdot \sqrt{4 n^{2}-32 m+4 n^{2}}$
$=\frac{3 \sqrt{2}}{4}\left(n^{2}-4 m\right) \sqrt{n^{2}-4 \pi}$ ，
可令 $t=\sqrt{n^{2}-4 \pi}=\sqrt{4-4 m^{2}-4 \pi}$
$=\sqrt{-4\left(m+\frac{1}{2}\right)^{2}+5}$ ，
可得 $m=-\frac{1}{2}$ 时，$t$ 取得最大值 $\sqrt{5}$ ；
$m=-1$ 时，$t$ 取得最小值 2 ，
即 $2 \leqslant \mathrm{t} \leqslant \sqrt{5}$ ，

则 $\mathrm{S}=\frac{3 \sqrt{2}}{4} \mathrm{t}^{3}$ 在 $2 \leqslant \mathrm{t} \leqslant \sqrt{5}$ 递增，可得 $\mathrm{S} \in\left[6 \sqrt{2}, \frac{15}{4} \sqrt{10}\right]$ ，
$\triangle P A B$ 面积的取值范围为 $\left[6 \sqrt{2}, \frac{15}{4} \sqrt{10}\right]$ ．

【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，以及换元法和三次函数的单调性，属于难题．