（12分）已知椭圆 E : x ^ 2 t + y ^ 2…——2016 高考数学第 20 题答案解析

【考点】 KH ：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】35：转化思想；48：分析法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（I）方法一、求出 $\mathrm{t}=4$ 时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点 $M$ ，运用弦长公式求得 $|A M|$ ，由垂直的条件可得 $\mid A N \mid$ ，再由 $|A M|=|A N|$ ，解得 $k=1$ ，运用三角形的面积公式可得 $\triangle A M N$ 的面积；

方法二、运用椭圆的对称性，可得直线 AM 的斜率为 1 ，求得 AM 的方程代入椭圆方程，解方程可得 $M, N$ 的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；
（II）直线 $A M$ 的方程为 $y=k(x+\sqrt{t})$ ，代入椭圆方程，求得交点 $M$ ，可得 $|A M|$ ，$|A N|$ ，再由 $2|A M|=|A N|$ ，求得 $t$ ，再由椭圆的性质可得 $t>3$ ，解不等式即可得到所求范围．

【解答】解：（I ）方法一、 $\mathrm{t}=4$ 时，椭圆 E 的方程为 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{3}=1, \mathrm{~A}(-2,0)$

直线 $A M$ 的方程为 $y=k(x+2)$ ，代入椭圆方程，整理可得 $\left(3+4 k^{2}\right) x^{2}+16 k^{2} x+16 k 2-12=0$,

解得 $x=-2$ 或 $x=-\frac{8 k^{2}-6}{3+4 k^{2}}$ ，则 $|A M|=\sqrt{1+k^{2}} \bullet\left|2-\frac{8 k^{2}-6}{3+4 k^{2}}\right|=\sqrt{1+k^{2}} \cdot \frac{12}{3+4 k^{2}}$ ，
由 $A N \perp A M$ ，可得 $|A N|=\sqrt{1+\left(-\frac{1}{k}\right)^{2}} \cdot \frac{12}{3+4 \cdot\left(\frac{-1}{k}\right)^{2}}=\sqrt{1+k^{2}} \cdot \frac{12}{3|k|+\frac{4}{|k|}}$ ，
由 $|A M|=|A N|, k>0$ ，可得 $\sqrt{1+k^{2}} \cdot \frac{12}{3+4 k^{2}}=\sqrt{1+k^{2}} \cdot \frac{12}{3 k+\frac{4}{k}}$ ，
整理可得 $(k-1)\left(4 k^{2}+k+4\right)=0$ ，由 $4 k^{2}+k+4=0$ 无实根，可得 $k=1$ ，
即有 $\triangle \mathrm{AMN}$ 的面积为 $\frac{1}{2}|\mathrm{AM}|^{2}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{1+1} \bullet \frac{12}{3+4}\right)^{2}=\frac{144}{49}$ ；
方法二、由 $|A M|=|A N|$ ，可得 $M$ ，$N$ 关于 $x$ 轴对称，
由 $M A \perp N A$ ．可得直线 $A M$ 的斜率为 1 ，直线 $A M$ 的方程为 $y=x+2$ ，
代入椭圆方程 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ，可得 $7 x^{2}+16 x+4=0$ ，
解得 $x=-2$ 或 $-\frac{2}{7}, M\left(-\frac{2}{7}, \frac{12}{7}\right), N\left(-\frac{2}{7},-\frac{12}{7}\right)$ ，

则 $\triangle \mathrm{AMN}$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times \frac{24}{7} \times\left(-\frac{2}{7}+2\right)=\frac{144}{49}$ ；
（II）直线AM的方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{k}(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{t}})$ ，代入椭圆方程，
可得 $\left(3+t k^{2}\right) x^{2}+2 t \sqrt{t} k^{2} x+t^{2} k^{2}-3 t=0$ ，
解得 $x=-\sqrt{t}$ 或 $x=-\frac{t \sqrt{t} k^{2}-3 \sqrt{t}}{3+t k^{2}}$ ，
即有 $|A M|=\sqrt{1+k^{2}} \cdot\left|\frac{t \sqrt{t} k^{2}-3 \sqrt{t}}{3+t k^{2}}-\sqrt{t}\right|=\sqrt{1+k^{2}} \cdot \frac{6 \sqrt{t}}{3+t k^{2}}$ ，
$|A N|=\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}} \cdot \frac{6 \sqrt{t}}{3+\frac{t}{k^{2}}}=\sqrt{1+k^{2}} \cdot \frac{6 \sqrt{t}}{3 k+\frac{t}{k}}$ ，
由 $2|A M|=|A N|$ ，可得 $2 \sqrt{1+k^{2}} \bullet \frac{6 \sqrt{t}}{3+k^{2}}=\sqrt{1+k^{2}} \bullet \frac{6 \sqrt{t}}{3 k+\frac{t}{k}}$ ，
整理得 $\mathrm{t}=\frac{6 \mathrm{k}^{2}-3 \mathrm{k}}{\mathrm{k}^{3}-2}$ ，
由椭圆的焦点在 $x$ 轴上，则 $t>3$ ，即有 $\frac{6 k^{2}-3 k}{k^{3}-2}>3$ ，即有 $\frac{\left(k^{2}+1\right)(k-2)}{k^{3}-2}<0$ ，
可得 $\sqrt[3]{2}【点评】本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点 ，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．