设c∈R，函数 f ( x ) = | x ^ 2 - c…——2026 高考数学第 15 题答案解析

【答案】①②③④

【解析】先研究内层函数记 $g ( x ) = x ^ { 2 } - \cos x - c ^ { 2 } ,$

则 $g$ 为偶函数，且 $g ^ { \prime } ( x ) = 2 x + \sin x , g ^ { n } ( x ) = 2 + \cos x > 0 ,$

故 $g ^ { \prime }$ 严格递增，又 $g ^ { \prime } ( 0 ) = 0$ ,于是g在 $( - \infty , 0 )$ 递减、在(0,+∞)递增，

在 $x = 0$ 取唯一极小值 $g ( 0 ) = - 1 - c ^ { 2 } , g ( x )$ 的值域为 $[ - 1 - c ^ { 2 } , + \infty )$

特别地，记 $u ( x ) = x ^ { 2 } - \cos x ($ 即 $c = 0$ 时的内层),u偶、最小值 $u ( 0 ) = - 1$ ，对每个 $t { > } { - } 1$ ，方程 $u ( x ) = t$ 恰有2个解(关于y轴对称),t=-1时恰1解， $t < - 1$ 时无解。

论断①(正确).在(-1,1]上,g先减((-1,0))后增((0,1])。极小 $g ( 0 ) = - 1 - c ^ { 2 }$ 可取到；又 $g ( 1 ) = 1 - \cos 1 - c ^ { 2 }$ 在闭端点x=1处取到，而 $x - 1 ^ { + }$ 时 $g \to 1 - \cos 1 - c ^ { 2 }$ 但取不到—-由偶性该上确界恰由x=1补取。

故g在(-1,1]上值域为闭区间 $[ - 1 - c ^ { 2 } , 1 - \cos 1 - c ^ { 2 } ]$ ，最小、最大均可取到。从而f=|g|连续，其最大值

$$ \operatorname* { m a x } f { = } \operatorname* { m a x } \left\{ 1 + c ^ { 2 } , \left| 1 - \cos 1 - c ^ { 2 } \right| \right\} { = } 1 + c ^ { 2 } ( \mathcal { \mp } x = 0 \mathrm { E } \mathcal { Z } \dddot { \pm } | ] ) $$

可取到;最小值在0落于上述区间时为0、否则为离0最近的端点值，二者皆可取到。
故f在(-1,1]上既有最小值又有最大值。

论断②(正确). $c = 0 \not \mathbb { H } f ( x ) = | x ^ { 2 } - \cos x | = 1 \Leftrightarrow x ^ { 2 } - \cos x = 1 \ \mathtt { \overrightarrow { s } } \mathtt { \overrightarrow { s } } \mathtt { \overrightarrow { x } } ^ { 2 } - \cos x = - 1 ,$

后者即u(x)=-1，仅x=0(1解)；前者 $u ( x ) = 1 > - 1$ ，有2解。三者互异，共3个解。

论断③(正确).c=1时 $f ( x ) = | x ^ { 2 } - \cos x - 1 |$ $p ( x ) = x ^ { 2 } - \cos x - 1 , p ^ { \prime } ( x ) = 2 x + \sin x > 0 , p$ 在(1,2]严格递增:p(1)=-cos1(开端点取不到)， $p ( 2 ) = 3 - \cos 2$ (闭端点可取到)。

$f = \left| p \right|$ 在左端附近趋于cos1≈0.540(取不到)，而在x=2处取到 $3 - \cos 2 \approx 3 . 4 1 6 .$

因 $3 - \cos 2 > \cos 1$ ,故f在(1,2]上的最大值3—cos2于x=2处取到，即f有最大值。

论断④(正确).c>0时 $\ | x ^ { 2 } - \cos x - c ^ { 2 } | = c \Leftrightarrow u ( x ) = c ^ { 2 } + c { \vec { \ast } } { \vec { \chi } } u ( x ) = c ^ { 2 } - c \circ$

前者 $c ^ { 2 } + c > 0 > - 1 ,$ 2解;后者由 $c ^ { 2 } - c + 1 = \big ( c - \frac { 1 } { 2 } \big ) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } > 0$ 知 $c ^ { 2 } - c > - 1$ 恒成立，亦2解；

又 $c ^ { 2 } + c \neq c ^ { 2 } - c ( c > 0 )$ ,四解互异。故共4个交点。

综上，①②③④均正确。

【背景深挖】本题暗含Weierstrass极值定理的边界：闭区间上的连续函数必取得最值，开区间未必——好在(-1，1]的右端闭合并由偶性补取了左端的上确界，故①成立。理解“开/闭端点”之差，是从中学最值过渡到分析学sup/max区分的关键一步。而②④把“绝对值方程的根数”化归为“内层水平截线的交点数之和”，是处理 $| f ( x ) | = a$ 型计数的通法