已知椭圆 x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 =1…——2021 高考数学第 18 题答案解析

【答案】
①$\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ ；
②$x-y+\sqrt{6}=0$ ．

## 【解析】

【分析】（1）求出 $a$ 的值，结合 $c$ 的值可得出 $b$ 的值，进而可得出椭圆的方程；
②设点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，分析出直线 $l$ 的方程为 $\frac{x_{0} x}{5}+y_{0} y=1$ ，求出点 $P$ 的坐标，根据 $M P / / B F$ 可得出 $k_{M P}=k_{B F}$ ，求出 $x_{0} , y_{0}$ 的值，即可得出直线 $l$ 的方程．

【详解】（1）易知点 $F(c, 0) , B(0, b)$ ，故 $|B F|=\sqrt{c^{2}+b^{2}}=a=\sqrt{5}$ ，因为椭圆的离心率为 $e=\frac{c}{a}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，故 $c=2, b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=1$ ，

因此，椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ ；
②设点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 上一点，
先证明直线 $M N$ 的方程为 $\frac{x_{0} x}{5}+y_{0} y=1$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x_{0} x}{5}+y_{0} y=1 \\ \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1\end{array}\right.$ ，消去 $y$ 并整理得 $x^{2}-2 x_{0} x+x_{0}^{2}=0, \Delta=4 x_{0}^{2}-4 x_{0}^{2}=0$ ，
因此，椭圆 $\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 在点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{5}+y_{0} y=1$ ．

在直线 $M N$ 的方程中，令 $x=0$ ，可得 $y=\frac{1}{y_{0}}$ ，由题意可知 $y_{0}>0$ ，即点 $N\left(0, \frac{1}{y_{0}}\right)$ ，
直线 $B F$ 的斜率为 $k_{B F}=-\frac{b}{c}=-\frac{1}{2}$ ，所以，直线 $P N$ 的方程为 $y=2 x+\frac{1}{y_{0}}$ ，
在直线 $P N$ 的方程中，令 $y=0$ ，可得 $x=-\frac{1}{2 y_{0}}$ ，即点 $P\left(-\frac{1}{2 y_{0}}, 0\right)$ ，
因为 $M P / / B F$ ，则 $k_{M P}=k_{B F}$ ，即 $\frac{y_{0}}{x_{0}+\frac{1}{2 y_{0}}}=\frac{2 y_{0}^{2}}{2 x_{0} y_{0}+1}=-\frac{1}{2}$ ，整理可得 $\left(x_{0}+5 y_{0}\right)^{2}=0$

所以，$x_{0}=-5 y_{0}$ ，因为 $\frac{x_{0}^{2}}{5}+y_{0}^{2}=6 y_{0}^{2}=1, \therefore y_{0}>0$ ，故 $y_{0}=\frac{\sqrt{6}}{6}, x_{0}=-\frac{5 \sqrt{6}}{6}$ ，
所以，直线 $l$ 的方程为 $-\frac{\sqrt{6}}{6} x+\frac{\sqrt{6}}{6} y=1$ ，即 $x-y+\sqrt{6}=0$ ．
【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
①设切线方程为 $y=k x+m$ 与椭圆方程联立，由 $\Delta=0$ 进行求解；
（2）椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 在其上一点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}}+\frac{y_{0} y}{b^{2}}=1$ ，再应用此方程时
，首先应证明直线 $\frac{x_{0} x}{a^{2}}+\frac{y_{0} y}{b^{2}}=1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 相切．