2015_退役省自主命题 (2015·理)
（21）（本小题满分 13 分）
设函数 $f(x)=x^{2}-a x+b$ ．
（I）讨论函数 $f(\sin x)$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（II）记 $f_{0}(x)=x^{2}-a_{0} x+b_{0}$ ，求函数 $\left|f(\sin x)-f_{0}(\sin x)\right|$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值 D；
（III）在（II）中，取 $a_{0}=b_{0}=0$ ，求 $z=b-\frac{a^{2}}{4}$ 满足 $\mathrm{D} \leq 1$ 时的最大值．
（I）极小值为 $b-\frac{a^{2}}{4}$ ；（II）$D=\left|a-a_{0}\right|+\left|b-b_{0}\right|$ ；（III） 1 ．
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】（I）极小值为 $b-\frac{a^{2}}{4}$ ；（II）$D=\left|a-a_{0}\right|+\left|b-b_{0}\right|$ ；（III） 1 ．
【解析】
试题分析：（I）将 $\sin x$ 代入 $f(x)$ 为 $f(\sin x)=\sin ^{2} x-a \sin x+b=\sin x(\sin x-a)+b, ~-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ ．求导得 $[f(\sin x)]^{\prime}=(2 \sin x-a) \cos x,-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ ．因为 $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ ，所以 $\cos x>0,-2<2 \sin x<2$ ．按 $a$ 的范围分三种情况进行讨论：①当 $a \leq-2, b \in R$ 时，函数 $f(\sin x)$ 单调迷增，无极值②当 $a \geq 2, b \in R$时，函数 $f(\sin x)$ 单调迷减，无极值③当 $-2<a<2$ ，在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内存在唯一的 $x_{0}$ ，使得 $2 \sin x_{0}=a .-\frac{\pi}{2}<x \leq x_{0}$ 时，函数 $f(\sin x)$ 单调速减；$x_{0}<x<\frac{\pi}{2}$ 时，函数 $f(\sin x)$ 单调递增．因此， $-2<a<2, b \in R$ 时，函数 $f(\sin x)$ 在 $x_{0}$ 处有极小值 $f\left(\sin x_{0}\right)=f\left(\frac{a}{2}\right)=b-\frac{a^{2}}{4}$ ．（II）当 $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ 时，依据绝对值不等式可知 $\left|f(\sin x)-f_{0}(\sin x)\right|=\left(a_{0}-a\right) \sin x+b-b_{0}\left|\leq a-a_{0}\right|+\left|b-b_{0}\right|$ ，从而能够得出函数 $\left|f(\sin x)-f_{0}(\sin x)\right|$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值为 $D=\left|a-a_{0}\right|+\left|b-b_{0}\right|$ ．（III）当 $\mathrm{D} \leq 1$ ，即 $|a|+|b| \leq 1$ ，此时 $0 \leq a^{2} \leq 1,-1 \leq b \leq 1$ ，从而 $z=b-\frac{a^{2}}{4} \leq 1$ 。依据式子特征取 $a=0, b=1$ ，则 $|a|+|b| \leq 1$ ，并且 $z=b-\frac{a^{2}}{4}=1$ ．由此可知，$z=b-\frac{a^{2}}{4}$ 满足条件 $\mathrm{D} \leq 1$ 的最大值为 1 ．
试题解析：（I）$f(\sin x)=\sin ^{2} x-a \sin x+b=\sin x(\sin x-a)+b,-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ ．
$[f(\sin x)]^{\prime}=(2 \sin x-a) \cos x,-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$.
因为 $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ ，所以 $\cos x>0,-2<2 \sin x<2$ ．
①当 $a \leq-2, b \in R$ 时，函数 $f(\sin x)$ 单调递增，无极值．
②当 $a \geq 2, b \in R$ 时，函数 $f(\sin x)$ 单调遇减，无极值．
③当 $-2<a<2$ ，在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内存在唯一的 $x_{0}$ ，使得 $2 \sin x_{0}=a$ ．
$-\frac{\pi}{2}<x \leq x_{0}$ 时，函数 $f(\sin x)$ 单调遇减；$x_{0}<x<\frac{\pi}{2}$ 时，函数 $f(\sin x)$ 单调速增．
因此，$-2<a<2, b \in R$ 时，函数 $f(\sin x)$ 在 $x_{0}$ 处有极小值 $f\left(\sin x_{0}\right)=f\left(\frac{a}{2}\right)=b-\frac{a^{2}}{4}$ ．
（II）$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ 时，$\left|f(\sin x)-f_{0}(\sin x)\right|=\left|\left(a_{0}-a\right) \sin x+b-b_{0}\right| \leq\left|a-a_{0}\right|+\left|b-b_{0}\right|$ ，
当 $\left(a_{0}-a\right)\left(b_{0}-b\right) \geq 0$ 时，取 $x=\frac{\pi}{2}$ ，等号成立，
当 $\left(a_{0}-a\right)\left(b_{0}-b\right)<0$ 时，取 $x=-\frac{\pi}{2}$ ，等号成立，
由此可知，函数 $\left|f(\sin x)-f_{0}(\sin x)\right|$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值为 $D=\left|a-a_{0}\right|+\left|b-b_{0}\right|$ ．
（III）D $\leq 1$ ，即 $|a|+|b| \leq 1$ ，此时 $0 \leq a^{2} \leq 1,-1 \leq b \leq 1$ ，从而 $z=b-\frac{a^{2}}{4} \leq 1$ ．
取 $a=0, b=1$ ，则 $|a|+|b| \leq 1$ ，并且 $z=b-\frac{a^{2}}{4}=1$ ．
由此可知，$z=b-\frac{a^{2}}{4}$ 满足条件 $\mathrm{D} \leq 1$ 的最大值为 1 ．
【考点定位】1．函数的单调性、极值与最值；2．绝对值不等式的应用．
【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用。